Ряд Фурье по синусу и косинусу

В математике , особенно в области исчисления и анализа Фурье , ряды синуса и косинуса Фурье представляют собой две математические серии, названные в честь Жозефа Фурье .

Обозначения

В этой статье $f$ обозначает действительную -значную функцию на $\mathbb {R}$ который является периодическим с периодом 2 L .

Синусоидальная серия

Если $f$ — нечетная функция с периодом $2L$ , то синусоидальный ряд Фурье для f определяется как $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$ это просто форма полного ряда Фурье с той лишь разницей, что $a_{0}$ и $a_{n}$ равны нулю, а ряд определен для половины интервала .

В формуле мы имеем $b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} .$

Косинусный ряд

Если $f$ — четная функция с периодом $2L$ , то косинусный ряд Фурье определяется как $f(x)={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos {\frac {n\pi x}{L}}$ где $c_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{L}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} _{0}.$

Примечания

Это понятие можно обобщить на функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, но тогда приведенные выше формулы будут выглядеть иначе.

См. также

Библиография

Байерли, Уильям Элвуд (1893). «Глава 2: Развитие в тригонометрическом ряду» . Элементарный трактат о рядах Фурье: сферических, цилиндрических и эллипсоидальных гармониках с приложениями к задачам математической физики (2-е изд.). Джинн. п. 30.
Карслоу, Горацио Скотт (1921). «Глава 7: Ряд Фурье» . Введение в теорию рядов Фурье и интегралов, Том 1 (2-е изд.). Макмиллан и компания. п. 196.