Кронекеровская сумма дискретных лапласианов
В математике сумма Кронекера дискретных лапласианов , названная в честь Леопольда Кронекера , представляет собой дискретную версию разделения переменных для непрерывного лапласиана в прямоугольном кубоиде. [ сломанный якорь ] домен.
Общий вид суммы Кронекера дискретных лапласианов
[ редактировать ]В общей ситуации разделения переменных в дискретном случае многомерный дискретный лапласиан представляет собой кронекерову сумму одномерных дискретных лапласианов.
Пример: 2D дискретный лапласиан на регулярной сетке с однородным граничным условием Дирихле.
[ редактировать ]Математически, используя сумму Кронекера :
где и являются одномерными дискретными лапласианами в направлениях x и y соответственно, и — тождества соответствующих размеров. Оба и должен соответствовать случаю однородного граничного условия Дирихле в конечных точках интервалов x и y , чтобы сгенерировать двумерный дискретный лапласиан L, соответствующий однородному граничному условию Дирихле всюду на границе прямоугольной области.
Вот пример кода OCTAVE / MATLAB для вычисления L в обычной 2D-сетке 10×15:
nx = 10; % number of grid points in the x-direction;
ny = 15; % number of grid points in the y-direction;
ex = ones(nx,1);
Dxx = spdiags([ex -2*ex ex], [-1 0 1], nx, nx); %1D discrete Laplacian in the x-direction ;
ey = ones(ny,1);
Dyy = spdiags([ey, -2*ey ey], [-1 0 1], ny, ny); %1D discrete Laplacian in the y-direction ;
L = kron(Dyy, speye(nx)) + kron(speye(ny), Dxx) ;
Собственные значения и собственные векторы многомерного дискретного лапласиана на регулярной сетке
[ редактировать ]Зная все собственные значения и собственные векторы факторов, все собственные значения и собственные векторы произведения Кронекера можно явно вычислить . На основании этого собственные значения и собственные векторы Кронекера суммы также может быть вычислено явно.
Собственные значения и собственные векторы стандартной центрально-разностной аппроксимации второй производной на отрезке для традиционных комбинаций граничных условий в конечных точках отрезка хорошо известны . Комбинируя эти выражения с формулами собственных значений и собственных векторов суммы Кронекера , можно легко получить искомый ответ.
Пример: 3D дискретный лапласиан на регулярной сетке с однородным граничным условием Дирихле.
[ редактировать ]где и являются одномерными дискретными лапласианами в каждом из трех направлений, и — тождества соответствующих размеров. Каждый одномерный дискретный лапласиан должен соответствовать случаю однородного граничного условия Дирихле , чтобы сгенерировать трехмерный дискретный лапласиан L, соответствующий однородному граничному условию Дирихле всюду на границе. Собственные значения
где , а соответствующие собственные векторы равны
где мультииндекс соединяет собственные значения и собственные векторы, а мультииндекс определяет местоположение значения каждого собственного вектора в регулярной сетке . Граничные точки, где однородные граничные условия Дирихле находятся сразу за пределами сетки.
Доступное программное обеспечение
[ редактировать ]Код OCTAVE / MATLAB http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d лицензии доступен по BSD , который вычисляет разреженную матрицу 1, 2D, и трехмерные отрицательные лапласианы на прямоугольной сетке для комбинаций Дирихле, Неймана и периодических граничных условий с использованием сумм Кронекера дискретных одномерных лапласианов. Код также предоставляет точные собственные значения и собственные векторы, используя явные формулы, приведенные выше.