Кронекеровская сумма дискретных лапласианов

В математике сумма Кронекера дискретных лапласианов , названная в честь Леопольда Кронекера , представляет собой дискретную версию разделения переменных для непрерывного лапласиана в прямоугольном кубоиде. ^{[ сломанный якорь ]} домен.

Общий вид суммы Кронекера дискретных лапласианов

В общей ситуации разделения переменных в дискретном случае многомерный дискретный лапласиан представляет собой кронекерову сумму одномерных дискретных лапласианов.

Пример: 2D дискретный лапласиан на регулярной сетке с однородным граничным условием Дирихле.

Математически, используя сумму Кронекера :

L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,

где $\mathbf {D_{xx}}$ и $\mathbf {D_{yy}}$ являются одномерными дискретными лапласианами в направлениях x и y соответственно, и $\mathbf {I}$ — тождества соответствующих размеров. Оба $\mathbf {D_{xx}}$ и $\mathbf {D_{yy}}$ должен соответствовать случаю однородного граничного условия Дирихле в конечных точках интервалов x и y , чтобы сгенерировать двумерный дискретный лапласиан L, соответствующий однородному граничному условию Дирихле всюду на границе прямоугольной области.

Вот пример кода OCTAVE / MATLAB для вычисления L в обычной 2D-сетке 10×15:

nx = 10; % number of grid points in the x-direction;
ny = 15; % number of grid points in the y-direction;
ex = ones(nx,1);
Dxx = spdiags([ex -2*ex ex], [-1 0 1], nx, nx); %1D discrete Laplacian in the x-direction ;
ey = ones(ny,1);
Dyy = spdiags([ey, -2*ey ey], [-1 0 1], ny, ny); %1D discrete Laplacian in the y-direction ;
L = kron(Dyy, speye(nx)) + kron(speye(ny), Dxx) ;

Собственные значения и собственные векторы многомерного дискретного лапласиана на регулярной сетке

Зная все собственные значения и собственные векторы факторов, все собственные значения и собственные векторы произведения Кронекера можно явно вычислить . На основании этого собственные значения и собственные векторы Кронекера суммы также может быть вычислено явно.

Собственные значения и собственные векторы стандартной центрально-разностной аппроксимации второй производной на отрезке для традиционных комбинаций граничных условий в конечных точках отрезка хорошо известны . Комбинируя эти выражения с формулами собственных значений и собственных векторов суммы Кронекера , можно легко получить искомый ответ.

Пример: 3D дискретный лапласиан на регулярной сетке с однородным граничным условием Дирихле.

L=\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{zz}} ,\,

где $\mathbf {D_{xx}} ,\,\mathbf {D_{yy}}$ и $\mathbf {D_{zz}}$ являются одномерными дискретными лапласианами в каждом из трех направлений, и $\mathbf {I}$ — тождества соответствующих размеров. Каждый одномерный дискретный лапласиан должен соответствовать случаю однородного граничного условия Дирихле , чтобы сгенерировать трехмерный дискретный лапласиан L, соответствующий однородному граничному условию Дирихле всюду на границе. Собственные значения

\lambda _{jx,jy,jz}=-{\frac {4}{h_{x}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{x}}{2(n_{x}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{y}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{y}}{2(n_{y}+1)}}\right)^{2}-{\frac {4}{h_{z}^{2}}}\sin \left({\frac {\pi j_{z}}{2(n_{z}+1)}}\right)^{2}

где $j_{x}=1,\ldots ,n_{x},\,j_{y}=1,\ldots ,n_{y},\,j_{z}=1,\ldots ,n_{z},\,$ , а соответствующие собственные векторы равны

v_{ix,iy,iz,jx,jy,jz}={\sqrt {\frac {2}{n_{x}+1}}}\sin \left({\frac {i_{x}j_{x}\pi }{n_{x}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_{y}+1}}}\sin \left({\frac {i_{y}j_{y}\pi }{n_{y}+1}}\right){\sqrt {\frac {2}{n_{z}+1}}}\sin \left({\frac {i_{z}j_{z}\pi }{n_{z}+1}}\right)

где мультииндекс ${jx,jy,jz}$ соединяет собственные значения и собственные векторы, а мультииндекс ${ix,iy,iz}$ определяет местоположение значения каждого собственного вектора в регулярной сетке . Граничные точки, где однородные граничные условия Дирихле находятся сразу за пределами сетки.

Доступное программное обеспечение

Код OCTAVE / MATLAB http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d лицензии доступен по BSD , который вычисляет разреженную матрицу 1, 2D, и трехмерные отрицательные лапласианы на прямоугольной сетке для комбинаций Дирихле, Неймана и периодических граничных условий с использованием сумм Кронекера дискретных одномерных лапласианов. Код также предоставляет точные собственные значения и собственные векторы, используя явные формулы, приведенные выше.