Jump to content

Кронекеровская сумма дискретных лапласианов

В математике сумма Кронекера дискретных лапласианов , названная в честь Леопольда Кронекера , представляет собой дискретную версию разделения переменных для непрерывного лапласиана в прямоугольном кубоиде. [ сломанный якорь ] домен.

Общий вид суммы Кронекера дискретных лапласианов

[ редактировать ]

В общей ситуации разделения переменных в дискретном случае многомерный дискретный лапласиан представляет собой кронекерову сумму одномерных дискретных лапласианов.

Пример: 2D дискретный лапласиан на регулярной сетке с однородным граничным условием Дирихле.

[ редактировать ]

Математически, используя сумму Кронекера :

где и являются одномерными дискретными лапласианами в направлениях x и y соответственно, и — тождества соответствующих размеров. Оба и должен соответствовать случаю однородного граничного условия Дирихле в конечных точках интервалов x и y , чтобы сгенерировать двумерный дискретный лапласиан L, соответствующий однородному граничному условию Дирихле всюду на границе прямоугольной области.

Вот пример кода OCTAVE / MATLAB для вычисления L в обычной 2D-сетке 10×15:

nx = 10; % number of grid points in the x-direction;
ny = 15; % number of grid points in the y-direction;
ex = ones(nx,1);
Dxx = spdiags([ex -2*ex ex], [-1 0 1], nx, nx); %1D discrete Laplacian in the x-direction ;
ey = ones(ny,1);
Dyy = spdiags([ey, -2*ey ey], [-1 0 1], ny, ny); %1D discrete Laplacian in the y-direction ;
L = kron(Dyy, speye(nx)) + kron(speye(ny), Dxx) ;

Собственные значения и собственные векторы многомерного дискретного лапласиана на регулярной сетке

[ редактировать ]

Зная все собственные значения и собственные векторы факторов, все собственные значения и собственные векторы произведения Кронекера можно явно вычислить . На основании этого собственные значения и собственные векторы Кронекера суммы также может быть вычислено явно.

Собственные значения и собственные векторы стандартной центрально-разностной аппроксимации второй производной на отрезке для традиционных комбинаций граничных условий в конечных точках отрезка хорошо известны . Комбинируя эти выражения с формулами собственных значений и собственных векторов суммы Кронекера , можно легко получить искомый ответ.

Пример: 3D дискретный лапласиан на регулярной сетке с однородным граничным условием Дирихле.

[ редактировать ]

где и являются одномерными дискретными лапласианами в каждом из трех направлений, и — тождества соответствующих размеров. Каждый одномерный дискретный лапласиан должен соответствовать случаю однородного граничного условия Дирихле , чтобы сгенерировать трехмерный дискретный лапласиан L, соответствующий однородному граничному условию Дирихле всюду на границе. Собственные значения

где , а соответствующие собственные векторы равны

где мультииндекс соединяет собственные значения и собственные векторы, а мультииндекс определяет местоположение значения каждого собственного вектора в регулярной сетке . Граничные точки, где однородные граничные условия Дирихле находятся сразу за пределами сетки.

Доступное программное обеспечение

[ редактировать ]

Код OCTAVE / MATLAB http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d лицензии доступен по BSD , который вычисляет разреженную матрицу 1, 2D, и трехмерные отрицательные лапласианы на прямоугольной сетке для комбинаций Дирихле, Неймана и периодических граничных условий с использованием сумм Кронекера дискретных одномерных лапласианов. Код также предоставляет точные собственные значения и собственные векторы, используя явные формулы, приведенные выше.

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 834d13747438c8a650b68f8c5d8c7b17__1721271540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/83/17/834d13747438c8a650b68f8c5d8c7b17.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kronecker sum of discrete Laplacians - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)