Собственные значения и собственные векторы второй производной

явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной Приведены с различными граничными условиями как для непрерывного, так и для дискретного случая. В дискретном случае стандартная аппроксимация второй производной центральной разностью на равномерной сетке используется .

Эти формулы используются для вывода выражений для собственных функций лапласиана дискретного при разделении переменных , а также для нахождения собственных значений и собственных векторов многомерного лапласиана на регулярной сетке , которая представляется как сумма Кронекера дискретных лапласианов в одномерном пространстве. .

Непрерывный случай

Индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор и принимает значения от 1 до $\infty$. Предполагая, что уравнение определено в области $x\in [0,L]$, ниже приведены собственные значения и нормированные собственные векторы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

$\lambda _{j}=-{\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$

$v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}}\right)$

Чистые граничные условия Неймана

$\lambda _{j}=-{\frac {(j-1)^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$

$v_{j}(x)=\left\{{\begin{array}{lr}L^{-{\frac {1}{2}}}&j=1\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.$

Периодические граничные условия

$\lambda _{j}=\left\{{\begin{array}{lr}-{\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}&{\mbox{j is even.}}\\-{\frac {(j-1)^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}&{\mbox{j is odd.}}\end{array}}\right.$

(То есть: $0$ является простым собственным значением, а все дальнейшие собственные значения задаются формулой ${\frac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$, $j=1,2,\ldots$, каждый с кратностью 2).

$v_{j}(x)={\begin{cases}L^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{if }}j=1.\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {j\pi x}{L}}\right)&{\mbox{ if j is even.}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(j-1)\pi x}{L}}\right)&{\mbox{ if j is odd.}}\end{cases}}$

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана

$\lambda _{j}=-{\frac {(2j-1)^{2}\pi ^{2}}{4L^{2}}}$

$v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2L}}\right)$

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле

$\lambda _{j}=-{\frac {(2j-1)^{2}\pi ^{2}}{4L^{2}}}$

$v_{j}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos \left({\frac {(2j-1)\pi x}{2L}}\right)$

Дискретный случай

Обозначения: Индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор. Индекс i представляет i-й компонент собственного вектора. И i, и j изменяются от 1 до n, где матрица имеет размер nx n. Собственные векторы нормированы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

$\lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi j}{2(n+1)}}\right)$

$v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+1}}}\sin \left({\frac {ij\pi }{n+1}}\right)$

Чистые граничные условия Неймана

$\lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-1)}{2n}}\right)$

$v_{i,j}={\begin{cases}n^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{j = 1}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (j-1)(i-0.5)}{n}}\right)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

Периодические граничные условия

$\lambda _{j}={\begin{cases}-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-1)}{2n}}\right)&{\mbox{ if j is odd.}}\\-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi j}{2n}}\right)&{\mbox{ if j is even.}}\end{cases}}$

(Обратите внимание, что собственные значения повторяются, за исключением 0 и самого большого значения, если n четно.)

$v_{i,j}={\begin{cases}n^{-{\frac {1}{2}}}&{\mbox{if }}j=1.\\n^{-{\frac {1}{2}}}(-1)^{i}&{\mbox{if }}j=n{\mbox{ and n is even.}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\sin \left({\frac {\pi (i-0.5)j}{n}}\right)&{\mbox{ otherwise if j is even.}}\\{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cos \left({\frac {\pi (i-0.5)(j-1)}{n}}\right)&{\mbox{ otherwise if j is odd.}}\end{cases}}$

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана

$\lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-{\frac {1}{2}})}{2n+1}}\right)$

$v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+0.5}}}\sin \left({\frac {\pi i(2j-1)}{2n+1}}\right)$

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле

$\lambda _{j}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (j-{\frac {1}{2}})}{2n+1}}\right)$

$v_{i,j}={\sqrt {\frac {2}{n+0.5}}}\cos \left({\frac {\pi (i-0.5)(2j-1)}{2n+1}}\right)$

Вывод собственных значений и собственных векторов в дискретном случае.

Дело Дирихле

В одномерном дискретном случае с граничными условиями Дирихле мы решаем

${\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v_{n+1}=0.$

Переставив слагаемые, получим

$v_{k+1}=(2+h^{2}\lambda )v_{k}-v_{k-1}.\!$

Теперь позвольте $2\alpha =(2+h^{2}\lambda )$. Кроме того, предполагая $v_{1}\neq 0$, мы можем масштабировать собственные векторы с помощью любого ненулевого скаляра, поэтому масштабируем $v$ так что $v_{1}=1$.

Затем мы находим повторение

$v_{0}=0\,\!$

$v_{1}=1.\,\!$

$v_{k+1}=2\alpha v_{k}-v_{k-1}\,\!$

Учитывая $\alpha$ как неопределенное,

$v_{k+1}=U_{k}(\alpha )\,\!$

где $U_{k}$ – k-й полином Чебышева 2-го рода.

С $v_{n+1}=0$, мы поняли это

$U_{n}(\alpha )=0\,\!$.

Понятно, что собственными значениями нашей задачи будут нули n-го полинома Чебышева второго рода с соотношением $2\alpha =(2+h^{2}\lambda )$.

Эти нули хорошо известны:

$\alpha _{k}=\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right).\,\!$

Подставив их в формулу $\lambda$,

$2\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right)=h^{2}\lambda _{k}+2\,\!$

$\lambda _{k}=-{\frac {2}{h^{2}}}\left[1-\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right)\right].\,\!$

И используя тригонометрическую формулу для упрощения, мы находим

$\lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{2(n+1)}}\right).\,\!$

Дело Неймана

В случае Неймана мы решаем

${\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v'_{0.5}=v'_{n+0.5}=0.\,\!$

В стандартной дискретизации мы вводим $v_{0}\,\!$ и $v_{n+1}\,\!$ и определить

$v'_{0.5}:={\frac {v_{1}-v_{0}}{h}},\ v'_{n+0.5}:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}}\,\!$

Граничные условия тогда эквивалентны

$v_{1}-v_{0}=0,\ v_{n+1}-v_{n}=0.$

Если мы сделаем замену переменных,

$w_{k}=v_{k+1}-v_{k},\ k=0,...,n\,\!$

мы можем вывести следующее:

${\begin{alignedat}{2}{\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}&=\lambda v_{k}\\v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}&=h^{2}\lambda v_{k}\\(v_{k+1}-v_{k})-(v_{k}-v_{k-1})&=h^{2}\lambda v_{k}\\w_{k}-w_{k-1}&=h^{2}\lambda v_{k}\\&=h^{2}\lambda w_{k-1}+h^{2}\lambda v_{k-1}\\&=h^{2}\lambda w_{k-1}+w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k}&=(2+h^{2}\lambda )w_{k-1}-w_{k-2}\\w_{k+1}&=(2+h^{2}\lambda )w_{k}-w_{k-1}\\&=2\alpha w_{k}-w_{k-1}.\end{alignedat}}$

с $w_{n}=w_{0}=0$ являются граничными условиями.

Это и есть формула Дирихле с $n-1$ внутренние точки сетки и интервал сетки $h$. Подобно тому, что мы видели выше, предполагая $w_{1}\neq 0$, мы получаем

$\lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{2n}}\right),\ k=1,...,n-1.$

Это дает нам $n-1$ собственные значения и существуют $n$. Если мы отбросим предположение, что $w_{1}\neq 0$, мы находим, что существует также решение с $v_{k}=\mathrm {constant} \ \forall \ k=0,...,n+1,$ и это соответствует собственному значению $0$.

Переобозначая индексы в приведенной выше формуле и объединяя их с нулевым собственным значением, мы получаем:

$\lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(k-1)\pi }{2n}}\right),\ k=1,...,n.$

Случай Дирихле-Неймана

Для случая Дирихле-Неймана мы решаем

${\frac {v_{k+1}-2v_{k}+v_{k-1}}{h^{2}}}=\lambda v_{k},\ k=1,...,n,\ v_{0}=v'_{n+0.5}=0.$,

где $v'_{n+0.5}:={\frac {v_{n+1}-v_{n}}{h}}.$

Нам необходимо ввести вспомогательные переменные $v_{j+0.5},\ j=0,...,n.$

Рассмотрим повторение

$v_{k+0.5}=2\beta v_{k}-v_{k-0.5},{\text{ for some }}\beta \,\!$.

Также мы знаем $v_{0}=0$ и предполагая $v_{0.5}\neq 0$, мы можем масштабировать $v_{0.5}$ так что $v_{0.5}=1.$

Мы также можем написать

$v_{k}=2\beta v_{k-0.5}-v_{k-1}\,\!$

$v_{k+1}=2\beta v_{k+0.5}-v_{k}.\,\!$

Приняв правильную комбинацию этих трех уравнений, мы можем получить

$v_{k+1}=(4\beta ^{2}-2)v_{k}-v_{k-1}.\,\!$

И, таким образом, наше новое повторение решит нашу проблему собственных значений, когда

$h^{2}\lambda +2=(4\beta ^{2}-2).\,\!$

Решение для $\lambda$ мы получаем

$\lambda ={\frac {4(\beta ^{2}-1)}{h^{2}}}.$

Наше новое повторение дает

$v_{n+1}=U_{2n+1}(\beta ),\ v_{n}=U_{2n-1}(\beta ),\,\!$

где $U_{k}(\beta )$ снова – k-й полином Чебышева 2-го рода.

И в сочетании с нашим граничным условием Неймана мы имеем

$U_{2n+1}(\beta )-U_{2n-1}(\beta )=0.\,\!$

Известная формула связывает полиномы Чебышева первого рода: $T_{k}(\beta )$, к таковым второго рода на

$U_{k}(\beta )-U_{k-2}(\beta )=T_{k}(\beta ).\,\!$

Таким образом, наши собственные значения решают

$T_{2n+1}(\beta )=0,\ \lambda ={\frac {4(\beta ^{2}-1)}{h^{2}}}.\,\!$

Также известно, что нули этого многочлена

$\beta _{k}=\cos \left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right),\ k=1,...,2n+1\,\!$

И таким образом

${\begin{alignedat}{2}\lambda _{k}&={\frac {4}{h^{2}}}\left[\cos ^{2}\left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right)-1\right]\\&=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right).\end{alignedat}}$

Обратите внимание, что таких значений 2n + 1, но только первые n + 1 уникальны. (n + 1)-е значение дает нам нулевой вектор как собственный вектор с собственным значением 0, что тривиально. В этом можно убедиться, вернувшись к исходному повторению. Поэтому мы считаем только первые n из этих значений n собственными значениями задачи Дирихле-Неймана.

$\lambda _{k}=-{\frac {4}{h^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi (k-0.5)}{2n+1}}\right),\ k=1,...,n.$