Метод Петрова–Галеркина

Метод Петрова–Галеркина — это математический метод, используемый для аппроксимации решений уравнений в частных производных , которые содержат члены нечетного порядка и где пробная функция и функция решения принадлежат разным функциональным пространствам. Его можно рассматривать как расширение метода Бубнова-Галеркина , в котором основы тестовых функций и функций решения совпадают. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Петрова–Галеркина можно рассматривать как применение проекции, которая не обязательно ортогональна, в отличие от метода Бубнова–Галеркина .

Назван в честь советских учёных Георгия Ивановича Петрова и Бориса Георгиевича Галёркина .

Введение в абстрактную задачу

Метод Петрова-Галеркина является естественным расширением метода Галеркина и может быть введен аналогичным образом следующим образом.

Проблема в слабой формулировке

Рассмотрим абстрактную задачу, сформулированную в слабой формулировке на паре гильбертовых пространств. $V$ и $W$, а именно,

находить $u\in V$ такой, что $a(u,w)=f(w)$ для всех $w\in W$.

Здесь, $a(\cdot ,\cdot )$ представляет собой билинейную форму и $f$ является ограниченным линейным функционалом на $W$.

Уменьшение размерности Петрова-Галеркина

Выберите подпространства $V_{n}\subset V$ размерности n и $W_{m}\subset W$ размерности m и решим поставленную задачу:

Находить $v_{n}\in V_{n}$ такой, что $a(v_{n},w_{m})=f(w_{m})$ для всех $w_{m}\in W_{m}$.

Заметим, что уравнение осталось неизменным, изменились только пробелы. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет численно вычислить $v_{n}$ как конечная линейная комбинация базисных векторов в $V_{n}$.

Обобщенная ортогональность Петрова-Галеркина

Ключевое свойство подхода Петрова-Галеркина состоит в том, что ошибка в некотором смысле «ортогональна» выбранным подпространствам. С $W_{m}\subset W$, мы можем использовать $w_{m}$ в качестве тестового вектора в исходном уравнении. Вычитая эти два, мы получаем соотношение для ошибки: $\epsilon _{n}=v-v_{n}$ что является ошибкой между решением исходной задачи, $v$, и решение уравнения Галеркина $v_{n}$, следующее

$a(\epsilon _{n},w_{m})=a(v,w_{m})-a(v_{n},w_{m})=f(w_{m})-f(w_{m})=0$ для всех $w_{m}\in W_{m}$.

Матричная форма

Поскольку целью аппроксимации является создание линейной системы уравнений , мы строим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Позволять $v^{1},v^{2},\ldots ,v^{n}$ быть основой для $V_{n}$ и $w^{1},w^{2},\ldots ,w^{m}$ быть основой для $W_{m}$. Тогда достаточно использовать их поочередно для проверки уравнения Галёркина, т.е.: найти $v_{n}\in V_{n}$ такой, что

$a(v_{n},w^{j})=f(w^{j})\quad j=1,\ldots ,m.$

Мы расширяем $v_{n}$ относительно основы решения, $v_{n}=\sum _{i=1}^{n}x^{i}v^{i}$ и подставим его в приведенное выше уравнение, чтобы получить

$a\left(\sum _{i=1}^{n}x^{i}v^{i},w^{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}x^{i}a(v^{i},w^{j})=f(w^{j})\quad j=1,\ldots ,m.$

Это предыдущее уравнение на самом деле представляет собой линейную систему уравнений $A^{T}x=f$, где

$A_{ij}=a(v^{i},w^{j}),\quad f_{j}=f(w^{j}).$

Симметрия матрицы

Ввиду определения элементов матрицы, матрица $A$ симметричен , если $V=W$, билинейная форма $a(\cdot ,\cdot )$ симметричен, $n=m$, $V_{n}=W_{m}$, и $v^{i}=w^{j}$ для всех $i=j=1,\ldots ,n=m.$ В отличие от метода Бубнова-Галеркина матрица системы $A$ даже не квадрат, если $n\neq m.$

См. также

• Метод Бубнова-Галеркина