Метод Галёркина

В математике , в области численного анализа , методы Галеркина — это семейство методов преобразования задачи непрерывного оператора, такой как дифференциальное уравнение , обычно в слабой формулировке , в дискретную задачу путем применения линейных ограничений, определяемых конечными наборами базиса. функции. Они названы в честь советского математика Бориса Галёркина .

Часто, говоря о методе Галеркина, вместе с типичными допущениями и используемыми методами аппроксимации указывают его название:

• Метод Ритца-Галеркина (после Вальтера Ритца ) обычно принимает симметричную и положительно определенную билинейную форму в слабой формулировке , где дифференциальное уравнение для физической системы может быть сформулировано посредством минимизации представляющей квадратичной функции, системы энергию , а приближенное решение представляет собой линейное уравнение. сочетание заданного набора базисных функций.
• Метод Бубнова–Галеркина (по Ивану Бубнову ) не требует билинейной формы симметричности , и заменяет минимизацию энергии ограничениями ортогональности определяемыми теми же базисными функциями, которые используются для аппроксимации решения. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Бубнова–Галеркина можно рассматривать как применение ортогонального проектирования к оператору.
• Метод Петрова–Галеркина (по имени Георгия Ивановича Петрова). ) позволяет использовать базисные функции для ограничений ортогональности (называемые тестовыми базисными функциями ), которые отличаются от базисных функций, используемых для аппроксимации решения. Метод Петрова–Галеркина можно рассматривать как расширение метода Бубнова–Галеркина, применяя проекцию, которая не обязательно ортогональна в операторной формулировке дифференциального уравнения .

Примеры методов Галёркина:

• метод Галеркина взвешенных невязок , наиболее распространенный метод расчета глобальной матрицы жесткости в методе конечных элементов ,
• метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
• Krylov subspace methods .

Пример: Матричная линейная система

Сначала мы представим и проиллюстрируем метод Галеркина применительно к системе линейных уравнений. $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$. Мы определяем параметры следующим образом:

$A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}$

которая симметрична и положительно определена, а правая часть

$\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}.$

Истинное решение этой линейной системы:

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}.$

С помощью метода Галеркина мы можем решить систему в пространстве меньшей размерности и получить приближенное решение. Используем следующий базис для подпространства:

$V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}.$

Тогда мы можем написать уравнение Галеркина $\left(V^{*}AV\right)\mathbf {y} =V^{*}\mathbf {b}$ где левая матрица равна

$V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}},$

а правый вектор равен

$V^{*}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.$

Затем мы можем получить вектор решения в подпространстве:

$\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$

которое мы, наконец, проецируем обратно в исходное пространство, чтобы определить приближенное решение исходного уравнения как

$V\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}.$

В этом примере наше исходное гильбертово пространство на самом деле является трехмерным евклидовым пространством. $\mathbb {R} ^{3}$ оснащен стандартным скалярным произведением $(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v}$, наша матрица 3х3 $A$ определяет билинейную форму $a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v}$и правый вектор $\mathbf {b}$ определяет ограниченный линейный функционал $f(\mathbf {v} )=\mathbf {b} ^{T}\mathbf {v}$. Столбцы

$\mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$

матрицы $V$ образуют ортонормированный базис двумерного подпространства проекции Галеркина. Элементы матрицы Галёркина 2 на 2 $V^{*}AV$ являются $a(e_{j},e_{i}),\,i,j=1,2$, а компоненты правого вектора $V^{*}\mathbf {b}$ уравнения Галеркина $f(e_{i}),\,i=1,2$. Наконец, приближенное решение $V\mathbf {y}$ получается из компонент вектора решения $\mathbf {y}$ уравнения Галеркина и базис как $\sum _{j=1}^{2}y_{j}\mathbf {e} _{j}$.

Линейное уравнение в гильбертовом пространстве

Слабая формулировка линейного уравнения

Введем метод Галеркина с абстрактной задачей, представленной в виде слабой формулировки в гильбертовом пространстве. $V$, а именно,

находить $u\in V$ такой, что для всех $v\in V,a(u,v)=f(v)$.

Здесь, $a(\cdot ,\cdot )$ представляет собой билинейную форму (точные требования к $a(\cdot ,\cdot )$ будет указано позже) и $f$ является ограниченным линейным функционалом на $V$.

Уменьшение размерности Галеркина

Выберите подпространство $V_{n}\subset V$ размерности n и решим поставленную задачу:

Находить $u_{n}\in V_{n}$ такой, что для всех $v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})$.

Мы называем это уравнением Галёркина . Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным, изменились только пробелы. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет численно вычислить $u_{n}$ как конечная линейная комбинация базисных векторов в $V_{n}$.

Галеркинская ортогональность

Ключевое свойство подхода Галеркина состоит в том, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. С $V_{n}\subset V$, мы можем использовать $v_{n}$ в качестве тестового вектора в исходном уравнении. Вычитая эти два, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки: $\epsilon _{n}=u-u_{n}$ что является ошибкой между решением исходной задачи, $u$, и решение уравнения Галеркина $u_{n}$

$a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.$

Матричная форма уравнения Галёркина

Поскольку целью метода Галеркина является построение линейной системы уравнений , мы построим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Позволять $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}$ быть основой для $V_{n}$. Тогда достаточно использовать их поочередно для проверки уравнения Галеркина, т.е.: найти $u_{n}\in V_{n}$ такой, что

$a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.$

Мы расширяем $u_{n}$ относительно этого основания, $u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$ и вставьте его в приведенное выше уравнение, чтобы получить

$a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.$

Это предыдущее уравнение на самом деле представляет собой линейную систему уравнений $Au=f$, где

$A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).$

Симметрия матрицы

В силу определения элементов матрицы матрица уравнения Галеркина симметрична тогда и только тогда, когда билинейная форма $a(\cdot ,\cdot )$ является симметричным.

Анализ методов Галеркина

Здесь мы ограничимся симметричными билинейными формами , т.е.

$a(u,v)=a(v,u).$

Хотя на самом деле это не является ограничением методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, метод Петрова–Галеркина в несимметричном случае может потребоваться .

Анализ этих методов проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что уравнение Галеркина является корректной задачей по Адамару и, следовательно, допускает единственное решение. На втором этапе изучается качество аппроксимации решения Галеркина. $u_{n}$.

Анализ будет в основном опираться на два свойства билинейной формы , а именно:

• Ограниченность: для всех $u,v\in V$ держит

  $a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|$ для некоторой константы $C>0$

• Эллиптичность: для всех $u\in V$ держит

  $a(u,u)\geq c\|u\|^{2}$ для некоторой константы $c>0.$

По теореме Лакса-Милгрэма (см. слабую формулировку ) из этих двух условий следует корректность исходной задачи в слабой формулировке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются приведенные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).

Корректность уравнения Галеркина

С $V_{n}\subset V$, ограниченность и эллиптичность билинейной формы справедливы для $V_{n}$. Таким образом, корректность задачи Галеркина фактически наследуется от корректности исходной задачи.

Квазинаилучшее приближение (лемма Сеа)

Основная статья: Чья лемма

Ошибка $u-u_{n}$ между оригиналом и решением Галёркина допускает оценку

$\|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.$

Это означает, что до постоянного $C/c$, решение Галёркина $u_{n}$ максимально близко к исходному решению $u$ как и любой другой вектор в $V_{n}$. В частности, достаточно изучить аппроксимацию пространствами $V_{n}$, совершенно забывая о решаемом уравнении.

Доказательство

Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом всех методов Галёркина, мы включили его сюда: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и галеркинской ортогональности (знак равенства в середине) имеем для произвольного $v_{n}\in V_{n}$:

$c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.$

Деление на $c\|u-u_{n}\|$ и беря нижнюю границу всех возможных $v_{n}$ дает лемму.

Свойство наилучшего приближения Галеркина в энергетической норме

Для простоты изложения в предыдущем разделе мы предположили, что билинейная форма $a(u,v)$ симметричен и положительно определен, что означает, что это скалярное произведение и выражение $\|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}$ на самом деле является допустимой векторной нормой, называемой нормой энергии . При этих предположениях нетрудно дополнительно доказать свойство Галеркина наилучшего приближения в энергетической норме.

Используя галеркинскую a-ортогональность и неравенство Коши–Шварца для энергетической нормы, получаем

$\|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.$

Деление на $\|u-u_{n}\|_{a}$ и беря нижнюю границу всех возможных $v_{n}\in V_{n}$ доказывает, что приближение Галеркина $u_{n}\in V_{n}$ является лучшим приближением по энергетической норме в подпространстве $V_{n}\subset V$, то есть $u_{n}\in V_{n}$ есть не что иное, как ортогональное относительно скалярного произведения $a(u,v)$, проекция решения $u$ в подпространство $V_{n}$.

Метод Галеркина для ступенчатых структур.

И. Элишакоф , М. Амато, А. Марзани, П. А. Арван и Дж. Н. Редди изучал применение метода Галеркина к ступенчатым конструкциям. Они показали, что для получения точных результатов необходимы обобщенные функции, а именно функция единичного шага, дельта-функция Дирака и функция дублета.

История

Этот подход обычно приписывают Борису Галёркину . Метод объяснил западному читателю Хенки. и Дункан среди других. Ее сходимость изучал Михлин. и Лейпхольц Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Элишаковым и др. Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером. Гандер и Ваннер показал, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. О ста годах развития метода говорил Репин. Элишаков, Каплунов и Каплунов показывают, что метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждениям Тимошенко.

См. также

• метод Ритца

Внешние ссылки

• «Метод Галёркина» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Метод Галеркина из MathWorld