Кто такая лемма

Лемма Сеа — лемма в математике . Представлено Жаном Сеа в его докторской диссертации. В диссертации это важный инструмент для доказательства оценок погрешности метода конечных элементов, применяемого к эллиптическим уравнениям в частных производных .

Утверждение леммы

Позволять $V$ быть реальным гильбертовым пространством с нормой $\|\cdot \|.$ Позволять $a:V\times V\to \mathbb {R}$ быть билинейной формой со свойствами

• $|a(v,w)|\leq \gamma \|v\|\,\|w\|$ для некоторой константы $\gamma >0$ и все $v,w$ в $V$ ( непрерывность )
• $a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}$ для некоторой константы $\alpha >0$ и все $v$ в $V$ ( принуждение или $V$- эллиптичность).

Позволять $L:V\to \mathbb {R}$ — ограниченный линейный оператор . Рассмотрим задачу нахождения элемента $u$ в $V$ такой, что

$a(u,v)=L(v)$ для всех $v$ в $V.$

Рассмотрим ту же задачу на конечномерном подпространстве $V_{h}$ из $V,$ так, $u_{h}$ в $V_{h}$ удовлетворяет

$a(u_{h},v)=L(v)$ для всех $v$ в $V_{h}.$

По теореме Лакса-Милгрэма каждая из этих задач имеет ровно одно решение. Лемма Сеа утверждает, что

$\|u-u_{h}\|\leq {\frac {\gamma }{\alpha }}\|u-v\|$ для всех $v$ в $V_{h}.$

То есть подпространственное решение $u_{h}$ является «наилучшим» приближением $u$ в $V_{h},$ вплоть до константы $\gamma /\alpha .$

Доказательство простое

$\alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)+a(u-u_{h},v-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \gamma \|u-u_{h}\|\|u-v\|$ для всех $v$ в $V_{h}.$

Мы использовали $a$-ортогональность $u-u_{h}$ и $v-u_{h}\in V_{h}$

$a(u-u_{h},v)=0,\ \forall \ v\in V_{h}$

что следует непосредственно из $V_{h}\subset V$

$a(u,v)=L(v)=a(u_{h},v)$ для всех $v$ в $V_{h}$.

Примечание. Лемма Сеа справедлива и для комплексных гильбертовых пространств, тогда используется полуторалинейная форма. $a(\cdot ,\cdot )$ вместо билинейного. Тогда предположение о принудительности становится $|a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}$ для всех $v$ в $V$ (обратите внимание на знак абсолютного значения вокруг $a(v,v)$).

Оценка погрешности в энергетической норме

Подпространственное решение $u_{h}$ это проекция $u$ на подпространство $V_{h}$ относительно внутреннего продукта $a(\cdot ,\cdot )$.

Во многих приложениях билинейная форма $a:V\times V\to \mathbb {R}$ симметричен, поэтому

$a(v,w)=a(w,v)$ для всех $v,w$ в $V.$

Из этого, вместе с указанными выше свойствами этой формы, следует, что $a(\cdot ,\cdot )$ является внутренним продуктом на $V.$ Полученная норма

$\|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}$

называется энергетической нормой она соответствует физической энергии , так как во многих задачах . Эта норма эквивалентна исходной норме $\|\cdot \|.$

Используя $a$-ортогональность $u-u_{h}$ и $V_{h}$ и неравенство Коши–Шварца

$\|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}$ для всех $v$ в $V_{h}$.

Следовательно, в энергетической норме неравенство в лемме Сеа принимает вид

$\|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}$ для всех $v$ в $V_{h}$

(обратите внимание, что константа $\gamma /\alpha$ справа уже нет).

Это означает, что подпространственное решение $u_{h}$ является лучшим приближением к полнопространственному решению $u$ относительно энергетической нормы. Геометрически это означает, что $u_{h}$ это проекция решения $u$ на подпространство $V_{h}$ относительно внутреннего продукта $a(\cdot ,\cdot )$ (см. соседнюю картинку).

Используя этот результат, можно также получить более точную оценку в норме $\|\cdot \|$. С

$\alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq \gamma \|u-v\|^{2}$ для всех $v$ в $V_{h}$,

отсюда следует, что

$\|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {\gamma }{\alpha }}}\|u-v\|$ для всех $v$ в $V_{h}$.

Применение леммы Сеа

Применим лемму Сеа для оценки погрешности вычисления решения эллиптического дифференциального уравнения методом конечных элементов .

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим задачу нахождения функции $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ удовлетворяющие условиям

${\begin{cases}-u''=f{\mbox{ in }}[a,b]\\u(a)=u(b)=0\end{cases}}$

где $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ — заданная непрерывная функция .

Физически решение $u$ этой двухточечной краевой задаче представляет собой форму, принимаемую струной под действием силы такой, что в каждой точке $x$ между $a$ и $b$ силы плотность ​ $f(x)\mathbf {e}$ (где $\mathbf {e}$ — единичный вектор, направленный вертикально, а концы строки находятся на горизонтальной линии, см. рисунок рядом). Например, этой силой может быть гравитация , когда $f$ является постоянной функцией (поскольку сила гравитации одинакова во всех точках).

Пусть гильбертово пространство $V$ be the Sobolev space $H_{0}^{1}(a,b),$ которое является пространством всех интегрируемых с квадратом функций $v$ определено на $[a,b]$ которые имеют слабую производную $[a,b]$ с $v'$ также квадратично интегрируемый и $v$ удовлетворяет условиям $v(a)=v(b)=0.$ Внутренний продукт в этом пространстве равен

$(v,w)=\int _{a}^{b}\!\left(v(x)w(w)+v'(x)w'(x)\right)\,dx$ для всех $v$ и $w$ в $V.$

После умножения исходной краевой задачи на $v$ в этом пространстве и производя интегрирование по частям , получаем эквивалентную задачу

$a(u,v)=L(v)$ для всех $v$ в $V$,

с

$a(u,v)=\int _{a}^{b}\!u'(x)v'(x)\,dx$,

и

$L(v)=\int _{a}^{b}\!f(x)v(x)\,dx.$

Можно показать, что билинейная форма $a(\cdot ,\cdot )$ и оператор $L$ удовлетворяют условиям леммы Сеа.

Функция в $V_{h}$ (красным) и типичный набор базисных функций в $V_{h}$ (синим цветом).

Чтобы определить конечномерное подпространство $V_{h}$ из $V,$ рассмотреть раздел

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$

интервала $[a,b],$ и пусть $V_{h}$ — пространство всех непрерывных функций, аффинных на каждом подинтервале разбиения (такие функции называются кусочно-линейными ). Кроме того, предположим, что любая функция из $V_{h}$ принимает значение 0 в конечных точках $[a,b].$ Отсюда следует, что $V_{h}$ является векторным подпространством $V$ размерность которого $n-1$ (количество точек в разделе, не являющихся конечными точками).

Позволять $u_{h}$ быть решением проблемы подпространства

$a(u_{h},v)=L(v)$ для всех $v$ в $V_{h},$

так что можно подумать $u_{h}$ как кусочно-линейное приближение к точному решению $u.$ По лемме Сеа существует константа $C>0$ зависит только от билинейной формы $a(\cdot ,\cdot ),$ такой, что

$\|u-u_{h}\|\leq C\|u-v\|$ для всех $v$ в $V_{h}.$

Чтобы явно вычислить ошибку между $u$ и $u_{h},$ рассмотрим функцию $\pi u$ в $V_{h}$ который имеет те же значения, что и $u$ в узлах разбиения (так $\pi u$ получается путем линейной интерполяции на каждом интервале $[x_{i},x_{i+1}]$ от значений $u$ в конечных точках интервала). , можно показать Используя теорему Тейлора , что существует константа $K$ это зависит только от конечных точек $a$ и $b,$ такой, что

$|u'(x)-(\pi u)'(x)|\leq Kh\|u''\|_{L^{2}(a,b)}$

для всех $x$ в $[a,b],$ где $h$ - наибольшая длина подинтервалов $[x_{i},x_{i+1}]$ в разбиении, а нормой в правой части является L ² норма .

Это неравенство затем дает оценку ошибки

$\|u-\pi u\|.$

Затем, заменив $v=\pi u$ из леммы Сеа следует, что

$\|u-u_{h}\|\leq Ch\|u''\|_{L^{2}(a,b)},$

где $C$ — константа, отличная от приведенной выше (она зависит только от билинейной формы, которая неявно зависит от интервала $[a,b]$).

Этот результат имеет фундаментальное значение, поскольку он утверждает, что метод конечных элементов может быть использован для приближенного расчета решения нашей задачи и что ошибка в вычисленном решении уменьшается пропорционально размеру разбиения. $h.$ Лемму Сеа можно применить в том же духе для получения оценок ошибок для задач конечных элементов в более высоких измерениях (здесь область $u$ был в одном измерении), и при использовании полиномов более высокого порядка для подпространства $V_{h}.$

Ссылки

• Сеа, Жан (1964). Вариационная аппроксимация краевых задач (PDF) (кандидатская диссертация). Анналы Института Фурье 14. Том. 2.стр. 345–444 . Проверено 27 ноября 2010 г. (Оригинальная работа Ж. Сеа)

• Джонсон, Клаас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34514-6 .

• Монах, Питер (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850888-3 .

• Роос, Х.-Г.; Стайнс, М.; Тобиска, Л. (1996). Численные методы решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений: задачи конвекции-диффузии и течения . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-60718-8 .

• Эрикссон, К.; Эстеп, Д.; Хансбо, П.; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-56738-6 .

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94442-7 .

• Бреннер, Сюзанна С .; Л. Риджуэй Скотт (2002). Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-95451-1 . OCLC   48892839 .
• Сиарле, Филипп Г. (2002). Метод конечных элементов для эллиптических задач ((переиздание SIAM Classics) изд.). ISBN  0-89871-514-8 . OCLC   48892573 .