Метод Рэлея-Ритца

Метод Рэлея-Ритца — прямой численный метод аппроксимации собственных значений , возникший в контексте решения физических краевых задач и названный в честь лорда Рэлея и Вальтера Ритца .

В этом методе бесконечномерный линейный оператор аппроксимируется конечномерным сжатием , для которого мы можем использовать алгоритм собственных значений .

Он используется во всех приложениях, которые включают аппроксимацию собственных значений и собственных векторов , часто под разными названиями. В квантовой механике , где система частиц описывается с помощью гамильтониана , метод Ритца использует пробные волновые функции для аппроксимации собственной функции основного состояния с наименьшей энергией. В контексте метода конечных элементов математически тот же алгоритм обычно называют методом Ритца-Галеркина . Метод Рэлея-Ритца или терминология метода Ритца типичны в машиностроении и проектировании конструкций для аппроксимации собственных мод и резонансных частот конструкции.

Именование и атрибуция

Название метода и история его происхождения обсуждаются историками. Он был назван методом Ритца в честь Вальтера Ритца , поскольку численная процедура была опубликована Вальтером Ритцем в 1908-1909 годах. По мнению А.В. Лейссы, Лорд Рэлей написал статью, в которой поздравил Ритца с его работой в 1911 году, но заявил, что сам использовал метод Ритца во многих местах в своей книге и в другой публикации. Это утверждение, хотя позже и оспаривалось, а также тот факт, что метод в тривиальном случае одного вектора приводит к коэффициенту Рэлея, обосновывают название метода Рэлея – Ритца . По мнению С. Иланко, цитируя Рихарда Куранта , и лорд Рэлей , и Вальтер Ритц независимо друг от друга пришли к идее использования эквивалентности между краевыми задачами уравнений в частных производных , с одной стороны, и задачами вариационного исчисления , с другой стороны, для численного расчета решений, путем замены для вариационных задач проще аппроксимировать экстремальные задачи, в которых необходимо определить конечное число параметров. По иронии судьбы, современное обоснование алгоритма отказывается от вариационного исчисления в пользу более простого и более общего подхода ортогонального проецирования , как в методе Галеркина, названном в честь Бориса Галеркина , что также приводит к названию метода Ритца-Галеркина .

Метод

Позволять $T$ — линейный оператор в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$, с внутренним продуктом $(\cdot ,\cdot )$. Теперь рассмотрим конечный набор функций ${\mathcal {L}}=\{\varphi _{1},...,\varphi _{n}\}$. В зависимости от применения эти функции могут быть следующими:

• Подмножество ортонормированного базиса исходного оператора;
• Пространство сплайнов (как в методе Галеркина );
• Набор функций, аппроксимирующих собственные функции оператора.

Можно было бы использовать ортонормированный базис, генерируемый из собственных функций оператора, который создаст диагональные аппроксимирующие матрицы, но в этом случае нам уже пришлось бы вычислять спектр.

Теперь мы приближаемся $T$ к $T_{\mathcal {L}}$, который определяется как матрица с элементами

$$(T_{\mathcal {L}})_{i,j}=(T\varphi _{i},\varphi _{j}).$$

и решить проблему собственных значений $T_{\mathcal {L}}u=\lambda u$. Можно показать, что матрица $T_{\mathcal {L}}$ это сжатие ​ $T$ к ${\mathcal {L}}$.

Для дифференциальных операторов (таких как операторы Штурма-Лиувилля ) внутренний продукт $(\cdot ,\cdot )$ можно заменить слабой формулировкой ${\mathcal {A}}(\cdot ,\cdot )$.

Если для нахождения матрицы использовалось подмножество ортонормированного базиса, собственные векторы $T_{\mathcal {L}}$ будут линейными комбинациями ортонормированных базисных функций и, как следствие, будут аппроксимациями собственных векторов $T$.

Характеристики

Спектральное загрязнение

Метод Рэлея-Ритца может давать значения, которые не сходятся к фактическим значениям в спектре оператора по мере того, как усечение становится большим. Эти значения известны как спектральное загрязнение. В некоторых случаях (например, для уравнения Шредингера ) не существует аппроксимации, которая включала бы все собственные значения уравнения и не содержала бы никаких загрязнений.

Спектр сжатия (и, следовательно, загрязнения) ограничен числовым диапазоном оператора; во многих случаях он ограничен подмножеством числового диапазона, известного как существенный числовой диапазон .

Для матричных задач на собственные значения

В числовой линейной алгебре метод Рэлея – Ритца. обычно используется применяется для аппроксимации проблемы собственных значений $$A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$$для матрицы $A\in \mathbb {C} ^{N\times N}$ размера $N$ использование проецируемой матрицы меньшего размера $m<N$, сгенерированный из заданной матрицы $V\in \mathbb {C} ^{N\times m}$ с ортонормированными колоннами. Матричный вариант алгоритма является наиболее простым:

1. Вычислите $m\times m$ матрица $V^{*}AV$, где $V^{*}$ обозначает комплексно-сопряженный транспонирование $V$
2. Решите проблему собственных значений $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$
3. Вычислите векторы Ритца ${\tilde {\mathbf {x} }}_{i}=V\mathbf {y} _{i}$ и значение Ритца ${\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}$
4. Выходные аппроксимации $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})$, называемые парами Ритца, к собственным значениям и собственным векторам исходной матрицы $A$.

Если подпространство с ортонормированным базисом, заданным столбцами матрицы $V\in \mathbb {C} ^{N\times m}$ содержит $k\leq m$ векторы, близкие к собственным векторам матрицы $A$, описанный выше метод Рэлея–Ритца находит $k$ Векторы Ритца, которые хорошо аппроксимируют эти собственные векторы. Легко вычислимая величина $\|A{\tilde {\mathbf {x} }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{i}{\tilde {\mathbf {x} }}_{i}\|$ определяет точность такого приближения для каждой пары Ритца.

В самом простом случае $m=1$, $N\times m$ матрица $V$ превращается в единичный вектор-столбец $v$, $m\times m$ матрица $V^{*}AV$ является скаляром, равным коэффициенту Рэлея $\rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v$, единственный $i=1$ решение проблемы собственных значений $y_{i}=1$ и $\mu _{i}=\rho (v)$, и единственным вектором Ритца является $v$ сам. Таким образом, метод Рэлея–Ритца превращается в вычисление фактора Рэлея, если $m=1$.

Еще одна полезная связь с коэффициентом Рэлея заключается в том, что $\mu _{i}=\rho (v_{i})$ для каждой пары Ritz $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})$, позволяющий вывести некоторые свойства значений Ритца $\mu _{i}$ из соответствующей теории для фактора Рэлея . Например, если $A$ является эрмитовой матрицей , ее фактор Рэлея (и, следовательно, каждое ее значение Ритца) является действительным и принимает значения в пределах замкнутого интервала наименьших и наибольших собственных значений $A$.

Пример

Матрица $$A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}$$имеет собственные значения $1,2,3$ и соответствующие собственные векторы $$\mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$$Давайте возьмем $$V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}},$$затем $$V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}$$с собственными значениями $1,3$ и соответствующие собственные векторы $$\mathbf {y} _{\mu =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {y} _{\mu =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},$$так что значения Ритца $1,3$ а векторы Ритца $$\mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$$Заметим, что каждый из векторов Ритца является в точности одним из собственных векторов $A$ для данного $V$ а также значения Ритца дают ровно два из трех собственных значений $A$. Математическое объяснение точного приближения основано на том факте, что пространство столбцов матрицы $V$ оказывается точно таким же, как подпространство, натянутое двумя собственными векторами $\mathbf {x} _{\lambda =1}$ и $\mathbf {x} _{\lambda =3}$ в этом примере.

Для матричных задач с сингулярными значениями

Разложение усеченных сингулярных значений (SVD) в числовой линейной алгебре также может использовать метод Рэлея – Ритца для поиска приближений к левым и правым сингулярным векторам матрицы. $M\in \mathbb {C} ^{M\times N}$ размера $M\times N$ в заданных подпространствах путем превращения сингулярной проблемы в проблему собственных значений.

Использование обычной матрицы

Определение единственного значения $\sigma$ и соответствующие левый и правый сингулярные векторы равны $Mv=\sigma u$ и $M^{*}u=\sigma v$. Найдя один набор (слева направо) приближенных сингулярных векторов и сингулярных значений путем наивного применения метода Рэлея – Ритца к эрмитовой нормальной матрице $M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}$ или $MM^{*}\in \mathbb {C} ^{M\times M}$, какой бы из них ни был меньше, можно определить другой набор левых и правых сингулярных векторов просто путем деления на сингулярные значения, т. е. $u=Mv/\sigma$ и $v=M^{*}u/\sigma$. Однако деление нестабильно или не работает для малых или нулевых сингулярных значений.

Альтернативный подход, например, определение нормальной матрицы как $A=M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}$ размера $N\times N$, использует тот факт, что для данного $N\times m$ матрица $W\in \mathbb {C} ^{N\times m}$ с ортонормированными столбцами проблема собственных значений метода Рэлея–Ритца для $m\times m$ матрица $$W^{*}AW=W^{*}M^{*}MW=(MW)^{*}MW$$ можно интерпретировать как сингулярную задачу для $N\times m$ матрица $MW$. Эта интерпретация позволяет просто одновременно вычислить как левые, так и правые аппроксимированные сингулярные вектора следующим образом.

1. Вычислите $N\times m$ матрица $MW$.
2. Рассчитайте тонкий или экономичный SVD $MW=\mathbf {U} \Sigma \mathbf {V} _{h},$ с $N\times m$ матрица $\mathbf {U}$, $m\times m$ диагональная матрица $\Sigma$, и $m\times m$ матрица $\mathbf {V} _{h}$.
3. Вычислите матрицы левого Ритца $U=\mathbf {U}$ и правильно $V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}$ сингулярные векторы.
4. Выходные аппроксимации $U,\Sigma ,V_{h}$, называемые сингулярными тройками Ритца, к выбранным сингулярным значениям и соответствующим левым и правым сингулярным векторам исходной матрицы $M$ представляющее приближенное разложение усеченных сингулярных значений (SVD) с левыми сингулярными векторами, ограниченными пространством столбцов матрицы $W$.

Алгоритм можно использовать в качестве этапа постобработки, где матрица $W$ является результатом работы решателя собственных значений, например, такого как LOBPCG , аппроксимирующего численно выбранные собственные векторы нормальной матрицы $A=M^{*}M$.

Пример

Матрица $$M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$$имеет свою нормальную матрицу $$A=M^{*}M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&9&0\\0&0&0&16\\\end{bmatrix}},$$сингулярные значения $1,2,3,4$ и соответствующая тонкая СВД $$A={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},$$где столбцы первого множителя из полного набора левых сингулярных векторов матрицы $A$, диагональные элементы среднего члена являются сингулярными значениями, а столбцы последнего множителя транспонируются (хотя транспонирование не меняет его) $${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}^{*}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$$— соответствующие правосингулярные векторы.

Давайте возьмем $$W={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$$с пространством столбцов, натянутым на два точных правых сингулярных вектора $${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$$соответствующие сингулярным значениям 1 и 2.

Следуя шагу 1 алгоритма, вычисляем $$MW={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},$$и на шаге 2 это тонкая СВД $MW=\mathbf {U} {\Sigma }\mathbf {V} _{h}$ с $$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad \Sigma ={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.$$Таким образом, мы уже получаем сингулярные значения 2 и 1 из $\Sigma$ и из $\mathbf {U}$ соответствующие два левых сингулярных вектора $u$ как $[0,1,0,0,0]^{*}$ и $[1,0,0,0,0]^{*}$, которые охватывают пространство столбцов матрицы $W$, объясняя, почему приближения точны для заданных $W$.

Наконец, шаг 3 вычисляет матрицу $V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}$$$\mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0&0\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$$восстанавливая из своих строк два правых сингулярных вектора $v$ как $[0,1,0,0]^{*}$ и $[1,0,0,0]^{*}$.Проверяем первый вектор: $Mv=\sigma u$$${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}$$и $M^{*}u=\sigma v$$${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}.$$Таким образом, для данной матрицы $W$ с его пространством столбцов, которое натянуто на два точных правых сингулярных вектора, мы точно определяем эти правые сингулярные векторы, а также соответствующие левые сингулярные векторы и сингулярные значения. Для произвольной матрицы $W$, мы получаем приближенные сингулярные тройки, оптимальные при условии $W$ в смысле оптимальности метода Рэлея–Ритца.

Приложения и примеры

В квантовой физике

В квантовой физике, где спектр гамильтониана представляет собой набор дискретных уровней энергии, допускаемых квантово-механической системой, метод Рэлея-Ритца используется для аппроксимации энергетических состояний и волновых функций сложной атомной или ядерной системы. Фактически, для любой системы, более сложной, чем одиночный атом водорода, не существует точного решения спектра гамильтониана.

В этом случае пробная волновая функция , $\Psi$, тестируется в системе. Эта пробная функция выбирается с учетом граничных условий (и любых других физических ограничений). Точная функция неизвестна; пробная функция содержит один или несколько регулируемых параметров, которые варьируются для поиска конфигурации с наименьшей энергией.

Можно показать, что энергия основного состояния, $E_{0}$, удовлетворяет неравенству: $$E_{0}\leq {\frac {\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \rangle }{\langle \Psi |\Psi \rangle }}.$$

То есть энергия основного состояния меньше этого значения.Пробная волновая функция всегда будет давать математическое ожидание, большее или равное основной энергии.

Если известно, что пробная волновая функция ортогональна основному состоянию, то она будет служить границей для энергии некоторого возбужденного состояния.

Анзац-функция Ритца представляет собой линейную комбинацию N известных базисных функций. $\left\lbrace \Psi _{i}\right\rbrace$, параметризованный неизвестными коэффициентами: $$\Psi =\sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}.$$

Зная известный гамильтониан, мы можем записать его ожидаемое значение как $$\varepsilon ={\frac {\left\langle \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|{\hat {H}}\left|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }{\left\langle \left.\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}H_{ij}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}S_{ij}}}\equiv {\frac {A}{B}}.$$

Базисные функции обычно не ортогональны, так что матрица перекрытия S имеет ненулевые недиагональные элементы. Или $\left\lbrace c_{i}\right\rbrace$ или $\left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace$ (сопряжение первого) можно использовать для минимизации математического ожидания. Например, составив частные производные от $\varepsilon$ над $\left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace$ получается следующее равенство нуля, то для каждого k = 1, 2, ..., N : $${\frac {\partial \varepsilon }{\partial c_{k}^{*}}}={\frac {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}(H_{kj}-\varepsilon S_{kj})}{B}}=0,$$что приводит к набору N вековых уравнений : $$\sum _{j=1}^{N}c_{j}\left(H_{kj}-\varepsilon S_{kj}\right)=0\quad {\text{for}}\quad k=1,2,\dots ,N.$$

В приведенных выше уравнениях энергия $\varepsilon$ и коэффициенты $\left\lbrace c_{j}\right\rbrace$ неизвестны. По отношению к c это однородная система линейных уравнений, имеющая решение, когда определитель коэффициентов при этих неизвестных равен нулю: $$\det \left(H-\varepsilon S\right)=0,$$что, в свою очередь, верно только для N значений $\varepsilon$. Кроме того, поскольку гамильтониан является эрмитовым оператором , матрица H также является эрмитовой и значения $\varepsilon _{i}$ будет реальным. Самая низкая стоимость среди $\varepsilon _{i}$ (i=1,2,..,N), $\varepsilon _{0}$, будет лучшим приближением к основному состоянию используемых базисных функций. Остальные энергии N-1 представляют собой оценки энергий возбужденного состояния. Приближение волновой функции состояния i можно получить, найдя коэффициенты $\left\lbrace c_{j}\right\rbrace$ из соответствующего векового уравнения.

В машиностроении

Метод Рэлея-Ритца часто используется в машиностроении для определения приблизительных реальных резонансных частот систем с несколькими степенями свободы , таких как системы пружинных масс или маховики на валу с переменным поперечным сечением . Это расширение метода Рэлея. Его также можно использовать для определения нагрузок, вызывающих потерю устойчивости, и поведения колонн после потери устойчивости.

Рассмотрим случай, когда мы хотим найти резонансную частоту колебаний системы. Сначала запишем колебание в виде $$y(x,t)=Y(x)\cos \omega t$$с неизвестной формой моды $Y(x)$. Затем найдите полную энергию системы, состоящую из члена кинетической энергии и члена потенциальной энергии. Термин кинетической энергии включает в себя квадрат производной по времени $y(x,t)$ и таким образом получает коэффициент $\omega ^{2}$. Таким образом, мы можем вычислить полную энергию системы и выразить ее в следующем виде: $$E=T+V\equiv A[Y(x)]\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t+B[Y(x)]\cos ^{2}\omega t$$

В силу сохранения энергии средняя кинетическая энергия должна быть равна средней потенциальной энергии. Таким образом, $$\omega ^{2}={\frac {B[Y(x)]}{A[Y(x)]}}=R[Y(x)]$$который также известен как коэффициент Рэлея . Таким образом, если бы мы знали форму моды $Y(x)$, мы сможем вычислить $A[Y(x)]$ и $B[Y(x)]$и, в свою очередь, получить собственную частоту. Однако мы пока не знаем форму моды. Чтобы найти это, мы можем приблизить $Y(x)$ как комбинация нескольких аппроксимирующих функций $Y_{i}(x)$$$Y(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}Y_{i}(x)$$где $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ являются константами, подлежащими определению. В общем случае, если мы выберем случайный набор $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$, он будет описывать суперпозицию реальных собственных мод системы. Однако если мы ищем $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ такая, что собственная частота $\omega ^{2}$ минимизируется, то режим, описываемый этим набором $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ будет близок к минимально возможной фактической собственной моде системы. Таким образом, это находит самую низкую собственную частоту. Если мы найдем собственные моды, ортогональные этой аппроксимированной наименьшей собственной моде, мы также сможем приблизительно найти следующие несколько собственных частот.

В общем, мы можем выразить $A[Y(x)]$ и $B[Y(x)]$ как набор слагаемых, квадратичных по коэффициентам $c_{i}$: $$B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}K_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c}$$$$A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}M_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c}$$где $K$ и $M$ – матрица жесткости и матрица масс дискретной системы соответственно.

Минимизация $\omega ^{2}$ становится: $${\frac {\partial \omega ^{2}}{\partial c_{i}}}={\frac {\partial }{\partial c_{i}}}{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}=0$$

Решая это, $$\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}-\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}=0$$$$K\mathbf {c} -{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}M\mathbf {c} =\mathbf {0}$$$$K\mathbf {c} -\omega ^{2}M\mathbf {c} =\mathbf {0}$$

Для нетривиального решения c мы требуем, чтобы определитель матричного коэффициента c был равен нулю. $$\det(K-\omega ^{2}M)=0$$

Это дает решение для первых N собственных частот и собственных мод системы, где N — количество аппроксимирующих функций.

Простой случай двойной пружинно-массовой системы.

В следующем обсуждении используется простейший случай, когда система имеет две сосредоточенные пружины и две сосредоточенные массы и предполагаются только две формы колебаний. Следовательно, M = [ m ₁ , m ₂ ] и K = [ k ₁ , k ₂ ] .

B , Для системы предполагается форма моды с двумя членами, один из которых имеет весовой коэффициент например Y = [1, 1] + B [1, −1]. гармонического движения Простая теория гласит, что скорость в момент, когда отклонение равно нулю, равна угловой частоте. $\omega$ умноженное на прогиб (y) во время максимального отклонения. В этом примере кинетическая энергия (КЭ) для каждой массы равна ${\textstyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}}$ и т. д., а потенциальная энергия (PE) каждой пружины равна ${\textstyle {\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}}$ и т. д.

Мы также знаем, что без демпфирования максимальный KE равен максимальному PE. Таким образом, $$\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}K_{i}Y_{i}^{2}\right)$$

Общая амплитуда формы моды всегда уравновешивается с каждой стороны. То есть реальный размер предполагаемого отклонения не имеет значения, а только форма моды .

Затем математическими манипуляциями получается выражение для $\omega$, через B, которое можно дифференцировать относительно B, чтобы найти минимум, т.е. когда $d\omega /dB=0$. Это дает значение B, для которого $\omega$ является самым низким. Это верхняя граница решения для $\omega$ если $\omega$ Предполагается, что это будет предсказанная основная частота системы, поскольку предполагается форма моды , но мы нашли самое низкое значение этой верхней границы с учетом наших предположений, поскольку B используется для поиска оптимального «сочетания» двух предполагаемых мод. функции формы.

В этом методе есть много хитростей, наиболее важным из которых является попытка выбрать реалистичные предполагаемые формы мод. Например, в случае проблем с отклонением балки разумно использовать деформированную форму, которая аналитически аналогична ожидаемому решению. Квартика может соответствовать большинству простых задач о просто связанных балках , даже если порядок деформированного решения может быть ниже. Пружины и массы не обязательно должны быть дискретными, они могут быть непрерывными (или смесью), и этот метод можно легко использовать в электронной таблице для нахождения собственных частот довольно сложных распределенных систем, если вы умеете описать распределенные КЭ и PE легко сформулировать или разбить непрерывные элементы на дискретные части.

Этот метод можно использовать итеративно, добавляя дополнительные формы режима к предыдущему лучшему решению, или вы можете создать длинное выражение со многими буквами B и множеством форм режима, а затем частично дифференцировать их .

В динамических системах

Оператор Купмана позволяет закодировать конечномерную нелинейную систему как бесконечномерную линейную систему . В общем, обе эти проблемы трудно решить, но для последней мы можем использовать метод Ритца-Галеркина для аппроксимации решения.

Связь с методом конечных элементов

На языке метода конечных элементов матрица $H_{kj}$ это в точности матрица жесткости гамильтониана в кусочно-линейном пространстве элементов, а матрица $S_{kj}$ это массовая матрица . На языке линейной алгебры значение $\epsilon$ является собственным значением дискретизированного гамильтониана, а вектор $c$ является дискретизированным собственным вектором.

См. также

• коэффициент Рэлея
• Итерация Арнольди
• Теория Штурма – Лиувилля
• Гильбертово пространство
• Метод Галеркина

Примечания и ссылки

• Ритц, Вальтер (1909). «О новом методе решения некоторых вариационных задач математической физики» . Журнал чистой и прикладной математики . 135 :1–61.
• Макдональд, Дж. К. (1933). «Последовательные приближения вариационным методом Рэлея-Ритца» . Физ. Преподобный . 43 .

Внешние ссылки

• В курсе вариационного исчисления есть раздел, посвященный методу Рэлея – Ритца .
• Метод Ритца в математической энциклопедии
• Гандер, Мартин Дж.; Ваннер, Герхард (2012). «От Эйлера, Ритца и Галёркина к современным вычислениям» . Обзор СИАМ . 54 (4): 627–666. дои : 10.1137/100804036 .