Метод аналитического элемента
Метод аналитических элементов ( АЭМ ) — численный метод, используемый для решения уравнений в частных производных . [1] [2] [3] Первоначально он был разработан ODL Strack в Университете Миннесоты . По своей природе он аналогичен методу граничных элементов (МГЭ), поскольку не основан на дискретизации объемов или площадей в моделируемой системе; дискретизируются только внутренние и внешние границы. Одним из основных различий между AEM и BEM является то, что граничные интегралы рассчитываются аналитически. Хотя изначально он был разработан для моделирования потока подземных вод, [4] Впоследствии АЭМ применялась в других областях исследований, включая изучение теплового потока и проводимости, периодических волн и силовой деформации. [5]
Математическая основа
[ редактировать ]Основная предпосылка метода аналитических элементов заключается в том, что для линейных дифференциальных уравнений элементарные решения могут накладываться друг на друга для получения более сложных решений. Для различных основных уравнений доступен набор 2D- и 3D-аналитических решений («элементов»). Эти элементы обычно соответствуют разрыву зависимой переменной или ее градиенту вдоль геометрической границы (например, точки, линии, эллипса, круга, сферы и т. д.). Этот разрыв имеет определенную функциональную форму (обычно полином в 2D) и им можно манипулировать, чтобы удовлетворить (смешанным) граничным условиям Дирихле, Неймана или Робина. Каждое аналитическое решение бесконечно в пространстве и/или времени.
Обычно каждое аналитическое решение содержит степени свободы (коэффициенты), которые можно рассчитать для удовлетворения заданных граничных условий вдоль границы элемента. Чтобы получить глобальное решение (т. е. правильные коэффициенты элементов), решается система уравнений так, чтобы граничные условия удовлетворялись вдоль всех элементов (с использованием коллокации , минимизации методом наименьших квадратов или аналогичного подхода). Примечательно, что глобальное решение обеспечивает пространственно непрерывное описание зависимой переменной всюду в бесконечной области, а основное уравнение выполняется везде точно, за исключением границы элемента, где основное уравнение не является строго применимым из-за разрыва.
Возможность совмещать множество элементов в одном решении означает, что аналитические решения могут быть реализованы для произвольно сложных граничных условий. То есть могут быть решены модели, которые имеют сложную геометрию, прямые или изогнутые границы, множественные границы, переходные граничные условия, несколько слоев водоносного горизонта, кусочно-изменяющиеся свойства и непрерывно меняющиеся свойства. Элементы могут быть реализованы с использованием расширений в дальней зоне, так что модели, содержащие многие тысячи элементов, можно эффективно решать с высокой точностью.
Метод аналитических элементов применялся к задачам о потоке подземных вод, определяемых множеством линейных уравнений в частных производных, включая уравнение Лапласа , уравнение Пуассона , модифицированное уравнение Гельмгольца, [6] уравнение теплопроводности и бигармонические уравнения. Часто эти уравнения решаются с использованием комплексных переменных, что позволяет использовать математические методы, доступные в теории комплексных переменных. Полезным методом решения сложных задач является использование конформного отображения , которое отображает границу геометрии, например эллипса, на границу единичного круга , где решение известно.
В методе аналитических элементов потенциал разряда и функция тока используются или комбинация комплексного потенциала. Этот потенциал связывает физические свойства системы подземных вод, гидравлический напор или границы потока с математическим представлением потенциала. Это математическое представление можно использовать для расчета потенциала с точки зрения положения и, таким образом, также для решения проблем потока подземных вод. Элементы разрабатываются путем решения граничных условий для любого из этих двух свойств: гидравлического напора или границы потока, что приводит к аналитическим решениям, способным учитывать многочисленные граничные условия.
Сравнение с другими методами
[ редактировать ]Как уже упоминалось, метод аналитических элементов, таким образом, не основан на дискретизации объема или площади в модели, как в методе конечных элементов или различных методах конечных элементов. Таким образом, он может моделировать сложные задачи с погрешностью порядка машинной точности. Это иллюстрируется исследованием, в котором моделировался высокогетерогенный изотропный водоносный горизонт путем включения 100 000 сферических неоднородностей со случайной проводимостью и отслеживания 40 000 частиц. [7] Метод аналитических элементов можно эффективно использовать в качестве средства проверки или отбора в более крупных проектах, поскольку он позволяет быстро и точно рассчитать поток подземных вод для решения многих сложных задач. [8] [9]
В отличие от других широко используемых методов моделирования подземных вод, например метода конечных элементов или метода конечных различий , AEM не разделяет область модели на ячейки. Это дает то преимущество, что модель действительна для любой заданной точки модельной области. Однако это также означает, что область не так легко разделить на области, например, с различной гидравлической проводимостью, как при моделировании с помощью сетки ячеек; однако одним из решений этой проблемы является включение поддоменов в модель AEM. [10] Также существуют решения для реализации вертикально изменяющихся свойств или структур водоносного горизонта в модели AEM. [11] [12] [13]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Страк, Отто Д.Л., 1943- (1989). Механика подземных вод . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0-13-365412-5 . OCLC 16276592 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка ) - ^ Страк, Отто Д.Л. (август 2017 г.). Аналитическая механика подземных вод . дои : 10.1017/9781316563144 . ISBN 9781316563144 . Проверено 20 апреля 2020 г.
{{cite book}}:|website=игнорируется ( помогите ) - ^ Хайтьема, Х.М. (Хенк М.) (1995). Аналитико-элементное моделирование потока подземных вод . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 978-0-08-049910-9 . OCLC 162129095 .
- ^ Хайтьема, Х.М. (1995), «Моделирование аналитическими элементами» , Моделирование потоков подземных вод аналитическими элементами , Elsevier, стр. 203–305, doi : 10.1016/b978-012316550-3/50005-2 , ISBN 978-0-12-316550-3 , получено 11 сентября 2023 г.
- ^ Стюард, Дэвид Р. (17 сентября 2020 г.). Метод аналитического элемента . Издательство Оксфордского университета, Оксфорд. дои : 10.1093/oso/9780198856788.001.0001 . ISBN 978-0-19-885678-8 .
- ^ Страк, ODL; Намази, Т. (октябрь 2014 г.). «Новая формулировка устойчивого потока из нескольких водоносных горизонтов: аналитический элемент для кусочно-постоянной инфильтрации». Исследования водных ресурсов . 50 (10): 7939–7956. дои : 10.1002/2014WR015479 .
- ^ Янкович, И.; Фиори, А.; Даган, Г. (2006). «Моделирование потока и переноса в крайне неоднородных трехмерных водоносных горизонтах: эргодичность, гауссовость и аномальное поведение — 1. Концептуальные проблемы и численное моделирование» . Исследования водных ресурсов . 42 (6): W06D12. Бибкод : 2006WRR....42.6D12J . дои : 10.1029/2005WR004734 . ISSN 1944-7973 .
- ^ Хант, Рэндалл Дж. (2006). «Применение моделирования подземных вод с использованием метода аналитических элементов» . Подземные воды . 44 (1): 5–15. дои : 10.1111/j.1745-6584.2005.00143.x . ISSN 1745-6584 . ПМИД 16405461 . S2CID 24530553 .
- ^ Кремер, Стивен Р. (2007). «Моделирование подземных вод с использованием аналитических элементов как исследовательская программа (1980–2006 гг.)». Подземные воды . 45 (4): 402–408. дои : 10.1111/j.1745-6584.2007.00314.x . ISSN 1745-6584 . ПМИД 17600570 . S2CID 26319150 .
- ^ Фиттс, CR (2010). «Моделирование систем водоносных горизонтов с аналитическими элементами и подобластями: МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОДОНОСНЫХ ГОРИЗОНТОВ С АНАЛИТИЧЕСКИМ ПОДДОМЕНАМИ» . Исследования водных ресурсов . 46 (7). дои : 10.1029/2009WR008331 .
- ^ Баккер, Марк; Страк, Отто Д.Л. (10 февраля 2003 г.). «Аналитические элементы для многоводоносного потока» . Журнал гидрологии . 271 (1): 119–129. Бибкод : 2003JHyd..271..119B . дои : 10.1016/S0022-1694(02)00319-0 . ISSN 0022-1694 .
- ^ Страк, ODL; Ауск, БК (август 2015 г.). «Формулировка вертикально интегрированного потока подземных вод в стратифицированном прибрежном водоносном горизонте: Стратифицированный поток прибрежных водоносных горизонтов» . Исследования водных ресурсов . 51 (8): 6756–6775. дои : 10.1002/2015WR016887 .
- ^ Толлер, Эрик А.Л.; Страк, Отто Д.Л. (2019). «Поток на границе раздела с вертикально изменяющейся гидравлической проводимостью». Исследования водных ресурсов . 55 (11): 8514–8525. Бибкод : 2019WRR....55.8514T . дои : 10.1029/2019WR024927 . ISSN 1944-7973 . S2CID 202924261 .
Далее читать
[ редактировать ]- Хайтьема , HM (1995). Аналитически-элементное моделирование потока подземных вод (PDF) . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3 .
- Страк, ODL (1989). Механика подземных вод . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл.
- Фиттс, CR (2012). Наука о подземных водах (2-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Elsevier/Academic Press. ISBN 9780123847058 .