Метод Лакса – Вендрофа

Метод Лакса-Вендроффа , названный в честь Питера Лакса и Бертона Вендроффа . — численный метод решения гиперболических уравнений в частных производных , основанный на конечных разностях . Это второй порядок точности как в пространстве, так и во времени. Этот метод является примером явного интегрирования по времени , когда функция, определяющая основное уравнение, вычисляется в текущий момент времени.

Определение

Предположим, что имеется уравнение следующего вида: $${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u(x,t))}{\partial x}}=0$$ где x и t начальное состояние u ( x , 0) — независимые переменные, а задано .

Линейный случай

В линейном случае, когда f ( u ) = Au и A — константа, $$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}A^{2}\left[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].$$ Здесь $n$ относится к $t$ измерение и $i$ относится к $x$ измерение. Эту линейную схему можно распространить на общий нелинейный случай разными способами. Один из них позволяет $$A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}$$

Нелинейный случай

Тогда консервативная форма Лакса-Вендроффа для общего нелинейного уравнения имеет вид: $$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{i+1/2}\left(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})\right)-A_{i-1/2}\left(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right)\right].$$ где $A_{i\pm 1/2}$ - матрица Якобиана, вычисляемая по ${\textstyle {\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i\pm 1}^{n})}$.

Свободные методы Якобиана

Чтобы избежать оценки Якобиана, используйте двухэтапную процедуру.

метод Рихтмайера

Далее следует двухэтапный метод Рихтмайера Лакса – Вендрофа. Первый шаг в двухшаговом методе Лакса-Вендрофа Рихтмайера вычисляет значения для f ( u ( x , t )) на полушагах времени, t _{n + 1/2} и половинных точках сетки, x _{i + 1/2} . На втором этапе значения при t _{n + 1} рассчитываются с использованием данных для t _n и t _{n + 1/2} .

Первые (слабые) шаги: $$u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),$$ $$u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).$$

Второй шаг: $$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left[f(u_{i+1/2}^{n+1/2})-f(u_{i-1/2}^{n+1/2})\right].$$

Метод МакКормака

Основная статья: метод МакКормака

Другой метод того же типа был предложен МакКормаком. Метод МакКормака использует сначала прямое дифференцирование, а затем обратное дифференцирование:

Первый шаг: $$u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})).$$ Второй шаг: $$u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i}^{*})-f(u_{i-1}^{*})\right].$$

Альтернативно, Первый шаг: $$u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).$$ Второй шаг: $$u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{*})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{*})-f(u_{i}^{*})\right].$$

Ссылки

• Майкл Дж. Томпсон, Введение в астрофизическую гидродинамику , Imperial College Press, Лондон, 2006.
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 20.1. Консервативные по потоку задачи начального значения» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 1040. ИСБН  978-0-521-88068-8 .