Временная дискретизация

В прикладной физике технике временная и дискретизация — это математический метод решения переходных задач, таких как задачи потока .

Проблемы с переходными процессами часто решаются с использованием компьютерного моделирования (CAE), которое требует дискретизации основных уравнений как в пространстве, так и во времени. Временная дискретизация включает в себя интегрирование каждого члена в различных уравнениях за определенный временной шаг ( $\Delta t$).

Пространственная область может быть дискретизирована для получения полудискретной формы: $${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(x,t)=F(\varphi ).~$$

Временная дискретизация первого порядка с использованием обратных разностей : $${\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ),$$

второго И дискретизация порядка $${\frac {3\varphi ^{n+1}-4\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}{2\Delta t}}=F(\varphi ),$$где

• $\varphi$ является скаляром
• $n+1$ это значение в следующий раз, $t+\Delta t$
• $n$ это значение в текущий момент времени, $t$
• $n-1$ значение в предыдущий момент времени, $t-\Delta t$

Функция $F(\varphi )$ оценивается с использованием неявного и явного интегрирования по времени.

Описание

Временная дискретизация осуществляется путем интегрирования общего дискретизированного уравнения по времени. Во-первых, значения при данном контрольном объеме $P$ на временном интервале $t$ предполагаются, а затем значение на интервале времени $t+\Delta t$ найден. Этот метод утверждает, что интеграл по времени данной переменной представляет собой средневзвешенное значение между текущими и будущими значениями. Интегральную : форму уравнения можно записать как $${\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=f\cdot F(\varphi ^{n+1})+(1-f)\cdot F(\varphi ^{n}),$$где $f$ имеет вес от 0 до 1.

• $f=0.0$ дает полностью явную схему .
• $f=1.0$ дает полностью неявную схему .
• $f=0.5$ дает схему Кранка-Николсона .

Это интегрирование справедливо для любого контрольного объема и любой дискретизированной переменной. Следующее уравнение получается при применении к основному уравнению, включая полностью дискретизированную диффузию , конвекцию и источники . $$\int _{t}^{t+\Delta t}F(\varphi )\,dt=[f\cdot F_{\varphi }^{t+\Delta t}+(1-f)\cdot F_{\varphi }^{t}]\,\Delta t$$

Методы оценки функции F ( φ )

После дискретизации производной по времени функция $F(\varphi )$ еще предстоит оценить. Функция теперь оценивается с использованием неявного и явного интегрирования по времени.

Неявное интегрирование по времени

Этот метод оценивает функцию $F(\varphi )$ в будущем времени.

Формулировка

Оценка с использованием неявного интегрирования по времени задается как: $${\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n+1}),$$

Это называется неявной интеграцией, поскольку $\varphi ^{n+1}$ в данной ячейке относится к $\varphi ^{n}$ в соседних клетках через $F(\varphi ^{n+1})$: $$\varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta tF(\varphi ^{n+1}),$$

В случае неявного метода установка безусловно стабильна и может обрабатывать большой шаг по времени ( $\Delta t$). Но стабильность не означает точность. Таким образом, большие $\Delta t$ влияет на точность и определяет временное разрешение. Но поведение может включать физические временные рамки, которые необходимо решить.

Интеграция в явном времени

Этот метод оценивает функцию $F(\varphi )$ в настоящее время.

Формулировка

Оценка с использованием интегрирования в явном времени задается как: $${\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n}),$$

И называется явной интеграцией, поскольку $\varphi ^{n+1}$ могут быть явно выражены в существующих значениях решения, $\varphi ^{n}$: $$\varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta t\,F(\varphi ^{n}),$$

Здесь шаг по времени ( $\Delta t$) ограничен пределом устойчивости решателя (т. е. шаг по времени ограничен условием Куранта – Фридрихса – Леви ). Чтобы быть точным по времени, во всей области должен использоваться один и тот же шаг по времени, а для стабильности шаг по времени должен быть минимальным из всех шагов по локальному времени в области. Этот метод также называется «глобальным шагом по времени».

Примеры

Многие схемы используют интеграцию в явном времени. Некоторые из них заключаются в следующем:

• Метод Лакса – Вендрофа
• Метод Рунге-Кутты

См. также

• Условие Куранта–Фридрихса–Леви .
• Анализ устойчивости фон Неймана .
• Метод конечных элементов
• Явные и неявные методы
• Чи-Ван Шу