Метод линий
Метод линий (МОЛ, НМОЛ, НУМОЛ [1] [2] [3] ) — это метод решения уравнений в частных производных (УЧП), в котором все измерения, кроме одного, дискретизированы. Сводя УЧП к одному непрерывному измерению, метод линий позволяет вычислять решения с помощью методов и программного обеспечения, разработанных для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических систем уравнений (ДАУ). Многие процедуры интеграции были разработаны на протяжении многих лет на разных языках программирования, а некоторые из них опубликованы как с открытым исходным кодом . ресурсы [4]
Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений в частных производных, который предполагает сначала дискретизацию только пространственных производных и оставление переменной времени непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить численный метод для начальных обыкновенных уравнений. Метод линий в этом контексте восходит как минимум к началу 1960-х годов. [5] С тех пор появилось множество статей, в которых обсуждается точность и устойчивость метода прямых для различных типов уравнений в частных производных. [6] [7]
Приложение к эллиптическим уравнениям
[ редактировать ]MOL требует, чтобы задача PDE была корректно поставлена как задача начального значения ( Коши ) хотя бы в одном измерении, поскольку интеграторы ODE и DAE являются решателями задач начального значения (IVP). Таким образом, его нельзя использовать непосредственно в чисто эллиптических уравнениях в частных производных , таких как уравнение Лапласа . Однако MOL использовался для решения уравнения Лапласа с использованием метода ложных переходных процессов . [1] [8] В этом методе к уравнению Лапласа добавляется производная по времени зависимой переменной. Затем конечные разности используются для аппроксимации пространственных производных, и полученная система уравнений решается с помощью MOL. Также возможно решение эллиптических задач полуаналитическим методом прямых . [9] В этом методе процесс дискретизации приводит к набору ОДУ, которые решаются с использованием свойств соответствующей экспоненциальной матрицы.
Недавно, чтобы преодолеть проблемы стабильности, связанные с методом ложных переходных процессов, был предложен подход, основанный на возмущениях, который оказался более надежным, чем стандартный метод ложных переходных процессов, для широкого спектра эллиптических PDE. [10]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Шиссер, МЫ (1991). Численный метод линий . Академическая пресса. ISBN 0-12-624130-9 .
- ^ Хамди, С.; МЫ Шиссер; Г. В. Гриффитс (2007), «Метод линий», Scholarpedia , 2 (7): 2859, Bibcode : 2007SchpJ...2.2859H , doi : 10.4249/scholarpedia.2859
- ^ Шиссер, МЫ; Г. В. Гриффитс (2009). Сборник моделей уравнений в частных производных: метод анализа линий с помощью Matlab . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51986-1 .
- ^ Ли, HJ; МЫ Шиссер (2004). Подпрограммы для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных на C, C++, Fortran, Java, Maple и Matlab . ЦРК Пресс. ISBN 1-58488-423-1 .
- ^ Э. Н. Сармин; Л. А. Чудов (1963), "Об устойчивости численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при использовании метода прямых", Вычислительная математика и математическая физика СССР , 3 (6): 1537–1543, doi : 10.1016 /0041-5553(63)90256-8
- ^ А. Зафарулла (1970), «Применение метода прямых к параболическим уравнениям в частных производных с оценками ошибок», Журнал Ассоциации вычислительной техники , том. 17, нет. 2, стр. 294–302, doi : 10.1145/321574.321583 , S2CID 15114435.
- ^ Дж. Г. Вервер; Дж. М. Санс-Серна (1984), «Сходимость метода аппроксимации линий к уравнениям в частных производных» , Computing , 33 (3–4): 297–313, doi : 10.1007/bf02242274 , S2CID 30171258
- ^ Шиссер, МЫ (1994). Вычислительная математика в инженерных и прикладных науках: ОДУ, ДАУ и УЧП . ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-7373-5 .
- ^ Субраманиан, ВР; Р.Э. Уайт (2004), «Полуаналитический метод прямых для решения эллиптических уравнений в частных производных», Chemical Engineering Science , 59 (4): 781–788, Бибкод : 2004ChEnS..59..781S , doi : 10.1016/j.ces. 2003.10.019
- ^ ПВК Нортроп; П.А. Рамачандран; МЫ Шиссер; В.Р. Субраманиан (2013), «Надежный метод ложных переходных процессов прямых для эллиптических уравнений в частных производных», Chem. англ. наук. , том. 90, стр. 32–39, Бибкод : 2013ЧЭнС..90...32Н , doi : 10.1016/j.ces.2012.11.033
Внешние ссылки
[ редактировать ]
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
 | Эта прикладной математике, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |