Эллиптическое уравнение в частных производных

(ЧДУ) второго порядка Линейные дифференциальные уравнения в частных производных классифицируются как эллиптические , гиперболические или параболические . Любое линейное УЧП второго порядка с двумя переменными можно записать в виде

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,$

где A , B , C , D , E , F и G являются функциями x и y и где $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$, $u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}$ и аналогично для $u_{xx},u_{y},u_{yy}$. УЧП, записанное в этой форме, является эллиптическим, если

$B^{2}-AC<0,$

с этим соглашением об именах, вдохновленным уравнением плоского эллипса . Уравнения с $B^{2}-AC=0$ называются параболическими, а те, у которых $B^{2}-AC>0$ являются гиперболическими .

Простейшими примерами эллиптических УЧП являются уравнение Лапласа , $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$и уравнение Пуассона , $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$ В каком-то смысле любое другое эллиптическое УЧП с двумя переменными можно рассматривать как обобщение одного из этих уравнений, поскольку его всегда можно привести к каноническому виду

$u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0$

путем замены переменных.

Качественное поведение

Эллиптические уравнения не имеют действительных характеристических кривых , кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную. $u$ из условий задачи Коши . Поскольку характеристические кривые — единственные кривые, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений нигде не могут иметь разрывные производные. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, в которых любые разрывы уже сглажены. Например, мы можем получить уравнение Лапласа из уравнения теплопроводности $u_{t}=\Delta u$ установив $u_{t}=0$. Это означает, что уравнение Лапласа описывает устойчивое состояние уравнения теплопроводности.

В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, по которым распространяется информация об исходных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, для эллиптических уравнений нет смысла распространения информации. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов.

Вывод канонической формы

Выведем каноническую форму эллиптических уравнений с двумя переменными: $u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0$.

$\xi =\xi (x,y)$ и $\eta =\eta (x,y)$.

Если $u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]$, применение правила цепочки один раз дает

$u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}$ и $u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}$,

второе приложение дает

$u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},$

$u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},$ и

$u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.$

Мы можем заменить наше УЧП по x и y эквивалентным уравнением по $\xi$ и $\eta$

$au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,$

где

$a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},$

$b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},$ и

$c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.$

Чтобы преобразовать наше УЧП в желаемую каноническую форму, мы ищем $\xi$ и $\eta$ такой, что $a=c$ и $b=0$. Это дает нам систему уравнений

$a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0$

$b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},$

Добавление $i$ умножить второе уравнение на первое и установить $\phi =\xi +i\eta$ дает квадратное уравнение

$A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.$

Поскольку дискриминант $B^{2}-AC<0$, это уравнение имеет два различных решения:

${\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}$

которые являются комплексно-сопряженными. Выбрав любое решение, мы можем найти $\phi (x,y)$и восстановить $\xi$ и $\eta$ с преобразованиями $\xi =\operatorname {Re} \phi$ и $\eta =\operatorname {Im} \phi$. С $\eta$ и $\xi$ удовлетворит $a-c=0$ и $b=0$, поэтому при замене переменных с x и y на $\eta$ и $\xi$ преобразует PDE

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,$

в каноническую форму

$u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,$

по желанию.

В высших измерениях

Общее уравнение в частных производных второго порядка от n переменных принимает вид

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.$

Это уравнение считается эллиптическим, если отсутствуют характеристические поверхности, т. е. поверхности, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от u из условий задачи Коши .

В отличие от двумерного случая, это уравнение, вообще говоря, не может быть приведено к простой канонической форме.

См. также

• Эллиптический оператор
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• УЧП второго порядка (для более полного обсуждения)

Внешние ссылки

• «Эллиптическое уравнение в частных производных» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическое уравнение в частных производных» . Математический мир .