Методы Неймана–Неймана

В математике методы Неймана-Неймана разложения области представляют собой предобуславливатели , названные так потому, что они решают задачу Неймана в каждой подобласти по обе стороны границы между подобластями. Как и все методы декомпозиции области, чтобы количество итераций не росло с увеличением количества подобластей, методы Неймана-Неймана требуют решения грубой задачи для обеспечения глобальной связи. Разложение балансирующей области представляет собой метод Неймана – Неймана с особым видом грубой задачи.

Более конкретно, рассмотрим область Ω, в которой мы хотим решить уравнение Пуассона

$-\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0$

для некоторой функции f . Разбейте область на две непересекающиеся подобласти ₁ и ₂ с общей границей Γ и пусть u ₁ и u ₂ — значения u в каждой подобласти. На границе между двумя подобластями два решения должны удовлетворять условиям соответствия.

$u_{1}=u_{2},\qquad \partial _{n_{1}}u_{1}=\partial _{n_{2}}u_{2}$

где ${\textstyle n_{i}}$ — единичный вектор нормали к Γ в каждой подобласти.

Итерационный метод с итерациями k=0,1,... для аппроксимации каждого u _i (i=1,2), удовлетворяющего условиям совмещения, заключается в сначала решении задач Дирихле

$-\Delta u_{i}^{(k)}=f_{i}\;{\text{in}}\;\Omega _{i},\qquad u_{i}^{(k)}|_{\partial \Omega }=0,\quad u_{i}^{(k)}|_{\Gamma }=\lambda ^{(k)}$

для некоторой функции λ ^(к) на C, где l ⁽⁰⁾ это любое недорогое первоначальное предположение. Затем мы решаем две задачи Неймана

$-\Delta \psi _{i}^{(k)}=0\;{\text{in}}\;\Omega _{i},\qquad \psi _{i}^{(k)}|_{\partial \Omega }=0,\quad \partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)}|_{\Gamma }=\omega (\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}).$

Затем мы получаем следующую итерацию, установив

$\lambda ^{(k+1)}=\lambda ^{(k)}-\omega (\theta _{1}\psi _{1}^{(k)}+\theta _{2}\psi _{2}^{(k)})\;{\text{on}}\;\Gamma$

для некоторых параметров ω, θ ₁ и θ ₂ .

Эту процедуру можно рассматривать как итерацию Ричардсона для итеративного решения уравнений, возникающих в результате метода дополнения Шура .

Эту непрерывную итерацию можно дискретизировать методом конечных элементов , а затем решить — параллельно — на компьютере. Расширение на большее количество поддоменов является простым, но использование этого метода, как указано в качестве предварительного условия для системы дополнения Шура, не масштабируется с увеличением количества поддоменов; отсюда необходимость глобального грубого решения.

См. также

• Метод Неймана – Дирихле