Метод фундаментальных решений

В научных вычислениях и моделировании метод фундаментальных решений ( МФС ) — это метод решения уравнений в частных производных , основанный на использовании фундаментального решения в качестве базовой функции. MFS была разработана для преодоления основных недостатков метода граничных элементов (МГЭ), который также использует фундаментальное решение для удовлетворения основного уравнения. Следовательно, и MFS, и BEM представляют собой численный метод граничной дискретизации, уменьшают сложность вычислений на одну размерность и имеют особое преимущество перед численными методами доменного типа, такими как методы конечных элементов и конечных объемов при решении бесконечной области. тонкостенные конструкции и обратные задачи .

В отличие от БЭМ, MFS избегает численного интегрирования сингулярного фундаментального решения и является собственным бессеточным методом . Однако метод скомпрометирован тем, что требует наличия спорной фиктивной границы за пределами физической области, чтобы обойти сингулярность фундаментального решения, что серьезно ограничивает его применимость к проблемам реального мира. Тем не менее, MFS оказалась очень конкурентоспособной в некоторых областях применения, таких как задачи бесконечной области.

MFS также известен в литературе под разными названиями, включая метод моделирования заряда, метод суперпозиции, метод десингуляризации, метод косвенных граничных элементов и метод виртуальных граничных элементов.

Формулировка MFS

Рассмотрим уравнение в частных производных, решающее задачи определенного типа.

$Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega ,$

$u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D},$

${\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N},$

где $L$ — дифференциальный частичный оператор, $\Omega$ представляет вычислительную область, $\partial \Omega _{D}$ и $\partial \Omega _{N}$ обозначают границу Дирихле и Неймана соответственно: $\partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega$ и $\partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing$.

MFS использует фундаментальное решение оператора в качестве своей базисной функции для представления аппроксимации неизвестной функции u следующим образом:

${{u}^{*}}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)$

где $r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(sx_{i},sy_{i}\right)\right\|$ обозначает евклидово расстояние между точками коллокации $\left(x,y\right)$ и исходные точки $\left(sx_{i},sy_{i}\right)$, $\phi \left(\cdot \right)$ является фундаментальным решением, которое удовлетворяет

$L\phi =\delta \,$

где $\delta$ обозначает дельта-функцию Дирака, а ${{\alpha }_{i}}$ неизвестные коэффициенты.

Поскольку исходные точки расположены вне физической области, MFS позволяет избежать сингулярности фундаментального решения. Подстановка аппроксимации в граничные условия дает следующее матричное уравнение

$\left[{\begin{matrix}\phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{i},y_{i}}\right)\\{\frac {\partial \phi \left(\left.r_{j}\right|_{x_{k},y_{k}}\right)}{\partial n}}\\\end{matrix}}\right]\ \cdot \ \alpha =\left({\begin{matrix}g\left(x_{i},y_{i}\right)\\h\left(x_{k},y_{k}\right)\\\end{matrix}}\right),$

где $\left(x_{i},y_{i}\right)$ и $\left(x_{k},y_{k}\right)$ обозначаем точки коллокации соответственно на границах Дирихле и Неймана. Неизвестные коэффициенты $\alpha _{i}$ однозначно определяется приведенным выше алгебраическим уравнением. И тогда мы сможем оценить численное решение в любой точке физической области.

История и последние события

Идеи МФС были развиты преимущественно В.Д.Купрадзе и М.А.Алексидзе в конце 1950-х — начале 1960-х годов. Однако этот метод был впервые предложен в качестве вычислительной техники гораздо позже Р. Мэтоном и Р.Л. Джонстоном в конце 1970-х годов. за которым последовал ряд статей Мэтона, Джонстона и Грэма Фэйрвезера с приложениями. Затем MFS постепенно стала полезным инструментом для решения большого количества физических и инженерных задач.

В 1990-х годах М.А. Гольберг и К.С. Чен расширили МФС для решения неоднородных уравнений и нестационарных задач, значительно расширив ее применимость. Более поздние разработки показали, что MFS можно использовать для решения уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. MFS оказался особенно эффективным для определенных классов задач, таких как обратные, неограниченная область и проблемы со свободными границами.

Некоторые методы были разработаны для решения фиктивной краевой проблемы в MFS, такие как метод граничных узлов , метод сингулярных границ и регуляризованный бессеточный метод .

См. также

• Радиальная базисная функция
• Метод граничных элементов
• Метод граничного узла
• Метод граничных частиц
• Метод сингулярной границы
• Регуляризованный бессеточный метод

Внешние ссылки

• Международный центр программного обеспечения для численного моделирования в области техники и наук