Метод граничного узла

В числовой математике метод граничных узлов (БКМ) предлагается как альтернативная схема коллокации функции расстояния без сетки граничного типа.

В последние десятилетия наблюдается бум исследований бессеточных численных методов УЧП, поскольку построение сетки в стандартном методе конечных элементов и методе граничных элементов не является тривиальным, особенно для движущихся границ и задач более высокой размерности. Метод граничных узлов отличается от других методов, основанных на фундаментальных решениях , таких как метод граничных элементов , метод фундаментальных решений и метод сингулярных границ , тем, что первый не требует специальных методов для устранения сингулярности. BKM действительно не содержит сеток, спектрально сходится (числовые наблюдения), симметричен (самосопряженные PDE), не требует интегрирования и прост в освоении и реализации. Метод был успешно протестирован на уравнениях Гельмгольца, диффузии, конвекции-диффузии и Поссиона с очень нерегулярными двумерными и трехмерными областями.

Описание

BKM по сути представляет собой комбинацию функции расстояния, несингулярного общего решения и метода двойной взаимности (DRM). Функция расстояния используется в BKM для аппроксимации неоднородных членов с помощью DRM, тогда как несингулярное общее решение уравнения в частных производных приводит к граничной формулировке однородного решения. Без единственного фундаментального решения БКМ устраняет спорную искусственную границу в методе фундаментальных решений. Некоторые предварительные численные эксперименты показывают, что BKM может давать отличные результаты при относительно небольшом количестве узлов для различных линейных и нелинейных задач.

Формулировка

Рассмотрим следующие проблемы,

(1) $Lu=f\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \Omega$

(2) $u=g\left(x,y\right),\ \ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D}$

(3) ${\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}$

где $L$ – дифференциальный оператор, $\Omega$ представляет вычислительную область, $\partial \Omega _{D}$ и $\partial \Omega _{N}$ обозначают границы Дирихле и Неймана соответственно, удовлетворяющие $\partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega$ и $\partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing$.БКМ использует несингулярное общее решение оператора $L$ аппроксимировать численное решение следующим образом:

(4) $u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)$

где $r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}$ обозначает евклидово расстояние, $\phi \left(\cdot \right)$ удовлетворено ли общее решение

(5) $L\phi =0$

Используя технику коллокации для удовлетворения граничных условий (2) и (3),

(6) ${\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}$

где $\left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}$ и $\left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}$ обозначает точки коллокации, расположенные на границе Дирихле и границе Неймана соответственно. Неизвестные коэффициенты $\alpha _{i}$ может быть однозначно определено по приведенному выше уравнению. (6). И тогда решение БКМ в любой точке расчетной области можно оценить по формуле (4).

История и последние события

Давно было отмечено, что метод граничных элементов (МГЭ) является альтернативой методу конечных элементов (МКЭ) и методу конечных объемов (МКО) для бесконечной области, тонкостенных структур и обратных задач благодаря своей размерной сводимости. Однако основные узкие места БЭМ связаны с большими вычислительными затратами для оценки интеграции единственного фундаментального решения и создания поверхностной сетки или повторной сетки. Метод фундаментальных решений (МФС) В последнее десятилетие появилась возможность смягчить эти недостатки и привлечь все большее внимание. MFS не требует интеграции, спектральной сходимости и сетки.

Как следует из названия, фундаментальное решение основных уравнений используется в качестве базовой функции в MFS. Чтобы избежать сингулярности фундаментального решения, требуется искусственная граница вне физической области, и это является основным узким местом для широкого использования MFS, поскольку такая фиктивная граница может вызвать нестабильность вычислений. БКМ классифицируется как один из видов бессеточных методов граничного типа без использования сетки и искусственной границы.

С тех пор БКМ прошел широкие испытания. В, BKM используется для решения уравнения Лапласа, уравнения Гельмгольца и уравнений Гельмгольца с переменным параметром; в по аналогии с RBF-интерполяцией Эрмита Фассауэра предложена симметричная схема БКМ при наличии смешанных граничных условий; в, проведены численные исследования сходимости БКМ при анализе однородных, модифицированных задач Гельмгольца и задач конвекции-диффузии; в БКМ используется для решения сложной геометрии двух- и трехмерных задач Гельмгольца и задач конвекции-диффузии; в вибрация мембраны в граничных условиях смешанного типа исследована методом симметричного граничного узла; в БКМ применяется к некоторым обратным задачам Гельмгольца; в БКМ решает уравнения Пуассона; в БКМ рассчитывает обратные неоднородные уравнения Коши Гельмгольца; в БКМ моделирует анизотропные проблемы через геодезическое расстояние; в исследуются связи между числом обусловленности, эффективным числом обусловленности и регуляризациями; в теплопроводность в нелинейных функционально-градиентных материалах исследуется методом БКМ; в БКМ также используется для решения нелинейного уравнения Эйконала.

См. также

• Метод фундаментальных решений
• Регуляризованный бессеточный метод
• Метод граничных частиц
• Метод сингулярной границы

Связанный веб-сайт

• Метод граничного узла
• Примеры кодов Matlab и геометрические конфигурации