Метод сингулярной границы
В численном анализе метод сингулярных границ (SBM) принадлежит к семейству методов бессеточной граничной коллокации , которые включают метод фундаментальных решений (MFS), [1] [2] [3] метод граничных узлов (БКМ), [4] регуляризованный бессеточный метод (РММ), [5] метод граничных частиц (BPM), [6] модифицированный МФС, [7] и так далее. Это семейство методов коллокации в сильной форме предназначено для того, чтобы избежать сингулярного численного интегрирования и построения сетки в традиционном методе граничных элементов (МГЭ) при численном решении краевых задач с граничными узлами, в которых фундаментальное решение основного уравнения явно задано. известно.
Отличительной особенностью МБМ является преодоление фиктивной границы метода фундаментального решения при сохранении всех достоинств последнего. Этот метод предлагает несколько преимуществ по сравнению с классическими методами дискретизации области или границ, среди которых:
- без сетки. Этот метод не требует ни построения сетки областей, ни границ, а только точек дискретизации границ;
- без интеграции. В противном случае численное интегрирование сингулярных или почти сингулярных ядер могло бы оказаться затруднительным, дорогим и сложным, как, например, в случае метода граничных элементов;
- дискретизация только по границам для однородных задач. SBM разделяет все преимущества BEM по сравнению с методами дискретизации предметной области, такими как методы конечных элементов или конечных разностей;
- преодолеть запутанную фиктивную границу в методе фундаментальных решений (см. рис. 1 и 2) благодаря введению понятия исходного коэффициента интенсивности, изолирующего сингулярность фундаментальных решений.
SBM представляет собой значительную и многообещающую альтернативу популярным методам граничного типа, таким как BEM и MFS, в частности, для бесконечных областей, волн, тонкостенных структур и обратных задач.
История метода сингулярной границы
[ редактировать ]Методология SBM была впервые предложена Ченом и его сотрудниками в 2009 году. [8] [9] Основная идея состоит в том, чтобы ввести понятие исходного коэффициента интенсивности, чтобы изолировать сингулярность фундаментальных решений, чтобы точки источника можно было разместить непосредственно на реальной границе. Для сравнения, метод фундаментальных решений требует фиктивной границы для размещения исходных точек, чтобы избежать сингулярности фундаментального решения. С тех пор SBM успешно применяется для решения множества физических проблем, таких как потенциальные проблемы, [10] [11] проблема бесконечной области, [12] задача Гельмгольца, [13] и плоская задача упругости. [14]
Существуют два метода оценки исходного коэффициента интенсивности. Первый подход заключается в размещении кластера узлов выборки внутри проблемной области и вычислении алгебраических уравнений. Такая стратегия приводит к дополнительным вычислительным затратам и делает метод не таким эффективным, как ожидалось, по сравнению с MFS. Второй подход [15] [16] заключается в использовании метода регуляризации для устранения особенностей фундаментального решения и его производных. Следовательно, коэффициенты интенсивности источника могут быть определены напрямую, без использования каких-либо узлов выборки. Такая схема делает метод более стабильным, точным, эффективным и расширяет возможности его применения.
Последние события
[ редактировать ]Проблемы эффекта пограничного слоя
[ редактировать ]Как и все другие численные методы граничного типа, также наблюдается, что SBM сталкивается с резким падением точности решения в области вблизи границы. В отличие от сингулярности в начале координат фундаментальное решение в приграничных областях остается конечным. Однако вместо того, чтобы быть плоской функцией, интерполяционная функция имеет острый пик по мере приближения точки поля к границе. Следовательно, ядра становятся «почти сингулярными» и не могут быть точно вычислены. Это похоже на так называемый эффект пограничного слоя, встречающийся в методах на основе БЭМ.
Нелинейное преобразование, основанное на функции sinh , можно использовать для удаления или подавления быстрых изменений почти сингулярных ядер. [17] В результате проблемный эффект пограничного слоя в SBM был успешно устранен. Реализация этого преобразования проста и может быть легко встроена в существующие программы SBM. Для исследованных тестовых задач очень многообещающие результаты получены даже в том случае, когда расстояние между точкой поля и границей составляет всего 1 × 10 −10 .
Масштабные проблемы
[ редактировать ]Подобно MFS и BEM, SBM будет создавать плотные матрицы коэффициентов, число операций которых и требования к памяти для построения матричных уравнений имеют порядок O ( N 2 ), что слишком затратно в вычислительном отношении для моделирования крупномасштабных задач.
Метод быстрых мультиполей (FMM) может снизить как время процессора, так и требования к памяти с O ( N 2 ) до O ( N ) или O ( N log N ). С помощью FMM SBM может быть полностью способен решить крупномасштабную задачу с несколькими миллионами неизвестных на рабочем столе. Этот быстрый алгоритм значительно расширяет область применения SBM и позволяет решить гораздо более серьезные проблемы, чем это было возможно ранее.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ метод фундаментальных решений (МФС)
- ^ Гольберг М.А., Чен К.С., Ганеш М., «Частные решения трехмерных уравнений типа Гельмгольца с использованием радиальных базисных функций с компактным носителем», Eng Anal Bound Elem 2000;24(7–8): 539–47.
- ^ Фэйрвезер Г., Карагеоргис А., «Метод фундаментальных решений эллиптических краевых задач», Adv Comput Math 1998;9 (1): 69–95.
- ^ Чен В., Танака М., « Бессеточный метод RBF без интеграции и только с границами. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine », Comput Math Appl 2002; 43 (3–5): 379–91.
- ^ Д. Л. Янг, К. Х. Чен, К. В. Ли, «Новый бессеточный метод решения потенциальных проблем в произвольной области», J Comput Phys 2005; 209 (1): 290–321.
- ^ метод граничных частиц (BPM)
- ^ Сарлер Б., «Решение потенциальных задач потока модифицированным методом фундаментальных решений: формулировки с однослойными и двухслойными фундаментальными решениями», Eng Anal Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.
- ^ Чен В., « Метод сингулярных границ: новый, простой, бессеточный численный метод граничной коллокации », Chin J Solid Mech 2009;30(6): 592–9.
- ^ Чен В, Ван ФЗ, « Метод фундаментальных решений без фиктивных границ. Архивировано 6 июня 2015 г. в Wayback Machine », Eng Anal Bound Elem 2010; 34 (5): 530–32.
- ^ Вэй X, Чен В, Фу ZJ, «Решение неоднородных задач методом сингулярных границ», J Mar SCI Tech 2012; 20(5).
- ^ Чен В., Фу З.Дж., Вэй Икс, « Потенциальные проблемы с помощью метода сингулярной границы, удовлетворяющего условию момента », Comput Model Eng Sci 2009;54(1): 65–85.
- ^ Чен В., Фу З., « Новый численный метод для решения потенциальных задач в бесконечной области », Chin Sci Bull 2010;55(16): 1598–603.
- ^ Фу ZJ, Чен В., «Новый граничный бессеточный метод для решения задач излучения и рассеяния», Достижения в методах граничных элементов XI, Материалы 11-й международной конференции , 12–14 июля 2010 г., 83–90, Опубликовано EC Ltd, United Королевство ( ISBN 978-0-9547783-7-8 )
- ^ Гу Ю, Чен В, Чжан ЧЗ., « Метод сингулярных границ для решения упругостатических задач плоской деформации », Int J Solids Struct 2011; 48 (18): 2549–56.
- ^ Чен В., Гу Ю, « Последние достижения в методе сингулярных границ », Совместный международный семинар по методу Треффца VI и методу фундаментального решения II , Тайвань, 2011 г.
- ^ Гу Ю, Чен, В., « Улучшенный метод сингулярных границ для трехмерных потенциальных задач », Китайский журнал теоретической и прикладной механики , 2012, 44 (2): 351-360 (на китайском языке)
- ^ Гу Ю, Чен В, Чжан Дж, « Исследование околограничных решений методом сингулярной границы », Eng Anal Bound Elem 2012; 36 (8): 117–82.