Метод моментов (электромагнетизм)

Информацию о методе общего интегрального уравнения см. в разделе «Метод граничных элементов» .

Моделирование отрицательного преломления от метаповерхности на частоте 15 ГГц для разных углов падения. Моделирование проводится методом моментов.

Метод моментов ( МОМ ), также известный как метод моментов и метод взвешенных остатков , — численный метод вычислительной электромагнетики . Он используется в компьютерных программах, которые моделируют взаимодействие электромагнитных полей, таких как радиоволны, с веществом, например, в программах моделирования антенн, таких как NEC , которые рассчитывают диаграмму направленности антенны. Обычно это метод частотной области , он включает в себя проектирование интегрального уравнения в систему линейных уравнений путем применения соответствующих граничных условий . Это делается с помощью дискретных сеток , как в методах конечных разностей и конечных элементов , часто для поверхности. Решения представлены линейной комбинацией заранее определенных базисных функций ; как правило, коэффициенты этих базисных функций являются искомыми неизвестными. Функции Грина и метод Галёркина играют центральную роль в методе моментов.

Для многих приложений метод моментов идентичен методу граничных элементов . Это один из наиболее распространенных методов в микроволновой и антенной технике.

История

Развитие метода граничных элементов и других подобных методов для различных инженерных приложений связано с появлением цифровых вычислений в 1960-х годах . До этого вариационные методы применялись к инженерным задачам на сверхвысокочастотных ко времени Второй мировой войны частотах . . Джулиан Швингер и Натан Маркувитц объединили эти работы в конспекты лекций и учебники соответственно Виктор Рамси сформулировал эти методы в «концепцию реакции» в 1954 году. Позже было показано, что эта концепция эквивалентна методу Галеркина . В конце 1950-х годов ранняя версия метода моментов была представлена ​​Юэнь Ло на курсе математических методов в теории электромагнетизма в Университете Иллинойса .

Схема и диаграмма направленности лог- спиральной антенны , разработанная с помощью NEC. программного обеспечения для моделирования на базе

В 1960-х годах первые исследовательские работы по этому методу были опубликованы Кеннетом Мэем и Жаном ван Бладелем. и Джек Ричмонд. В том же десятилетии систематическая теория метода моментов в электромагнетике была в значительной степени формализована Роджером Харрингтоном . Хотя термин «метод моментов» был придуман ранее Леонидом Канторовичем и Глебом Акиловым для аналогичных численных приложений, Харрингтон адаптировал этот термин для электромагнитной формулировки. Харрингтон опубликовал основополагающий учебник « Вычисление поля с помощью моментных методов» по ​​методу моментов в 1968 году. Развитие метода и его применение в радиолокационной и антенной технике вызвали интерес; Исследование MoM впоследствии было поддержано правительством США . Этот метод получил дальнейшую популяризацию благодаря внедрению обобщенных кодов моделирования антенн, таких как числовой код электромагнитного поля , который был опубликован в общественном достоянии правительством США в конце 1980-х годов. В 1990-х годах внедрение методов быстрых мультиполей и многоуровневых быстрых мультиполей позволило эффективно решать MoM задачи с миллионами неизвестных.

Являясь одним из наиболее распространенных методов моделирования в радиочастотной и микроволновой технике , метод моментов лежит в основе многих программ коммерческого проектирования, таких как FEKO . Также доступно множество некоммерческих и общедоступных кодов различной сложности. Помимо использования в электротехнике, метод моментов был применен к рассеянию света. и плазмонные проблемы.

Фон

Основные понятия

См. также: Метод граничных элементов.

Неоднородное интегральное уравнение можно записать как: $$L(f)=g$$где L обозначает линейный оператор , g обозначает известную вынуждающую функцию, а f обозначает неизвестную функцию. f можно аппроксимировать конечным числом базисных функций ( $f_{n}$): $$f\approx \sum _{n}^{N}a_{n}f_{n}.$$

По линейности подстановка этого выражения в уравнение дает: $$\sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})\approx g.$$

Мы также можем определить невязку для этого выражения, которая обозначает разницу между фактическим и приближенным решением: $$R=\sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})-g$$

Целью метода моментов является минимизация этой невязки, что можно сделать с помощью соответствующих функций взвешивания или тестирования, отсюда и название метода взвешенных остатков. После определения подходящего внутреннего продукта для задачи выражение принимает вид: $$\sum _{n}^{N}a_{n}\langle w_{m},L(f_{n})\rangle \approx \langle w_{m},g\rangle$$

Таким образом, выражение можно представить в матричной форме: $$\left[\ell _{mn}\right]\left[\alpha _{m}\right]=[g_{n}]$$

Полученную матрицу часто называют матрицей импеданса. Коэффициенты базисных функций можно получить путем обращения матрицы . Для больших матриц с большим количеством неизвестных итерационные методы , такие как метод сопряженных градиентов можно использовать для ускорения . Фактические распределения поля можно получить из коэффициентов и связанных с ними интегралов. Взаимодействие между каждой базисной функцией в МоМ обеспечивается функцией Грина системы.

Базовые и тестовые функции

Интерполяция функции с базисными функциями крыши

Для моделирования ожидаемого поведения неизвестной функции в области можно выбрать различные базисные функции; эти функции могут быть подразделенными или глобальными. Выбор дельта-функции Дирака в качестве базовой функции известен как сопоставление точек или коллокация . Это соответствует соблюдению граничных условий на $N$ дискретных точках и часто используется для получения приближенных решений, когда операция внутреннего произведения сложна для выполнения. Другие подразделенные базисные функции включают импульсные , кусочно-треугольные, кусочно-синусоидальные функции и функции крыши. Треугольные нашивки, представленные С. Рао, Д. Уилтоном и А. Глиссоном в 1982 г., известны как базисные функции RWG и широко используются в MoM. Также были введены характеристические базисные функции для ускорения вычислений и сокращения матричного уравнения.

Функции тестирования и базовые функции часто выбираются одинаковыми; это известно как метод Галеркина . В зависимости от приложения и изучаемой структуры тестовые и базисные функции должны выбираться соответствующим образом, чтобы обеспечить сходимость и точность, а также предотвратить возможные алгебраические особенности высокого порядка .

Интегральные уравнения

В зависимости от приложения и искомых переменных различные интегральные или интегро-дифференциальные уравнения в МОМ используются . Излучение и рассеяние тонкими проволочными конструкциями, такими как антенны многих типов, можно моделировать с помощью специальных уравнений. Для поверхностных задач общие формулы интегральных уравнений включают интегральное уравнение электрического поля (EFIE), интегральное уравнение магнитного поля (MFIE). и интегральное уравнение смешанного потенциала (MPIE).

Уравнения тонкой проволоки

Поскольку многие антенные конструкции можно аппроксимировать как провода, уравнения тонких проводов представляют интерес для приложений MoM. Двумя обычно используемыми уравнениями тонкой проволоки являются интегро-дифференциальные уравнения Поклингтона и Халлена. Уравнение Поклингтона предшествует вычислительным методам и было введено в 1897 году Генри Кэборном Поклингтоном . Для линейного провода, центрированного в начале координат и выровненного по оси Z, уравнение можно записать как: $$\int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')\left[\left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)G(z,z')\right]\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)$$где $l$ и $a$ обозначают общую длину и толщину соответственно. $G(z,z')$ – функция Грина для свободного пространства. Уравнение можно обобщить на различные схемы возбуждения, включая магнитные оборки .

Интегральное уравнение Халлена, опубликованное Э. Халленом в 1938 году: может быть дано как: $$\left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)\int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')G(z,z')\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)$$

Это уравнение, несмотря на то, что оно более корректно, чем уравнение Поклингтона, обычно ограничивается возбуждением напряжения дельта-зазора в точке питания антенны , которое можно представить как приложенное электрическое поле.

Интегральное уравнение электрического поля (EFIE)

Основная статья: Интегральное уравнение электрического поля

Общий вид интегрального уравнения электрического поля (EFIE) можно записать как: $${\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {E} ^{\text{inc}}(\mathbf {r} )={\hat {\mathbf {n} }}\times \int _{S}\left[\eta jk\,\mathbf {J} (\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\frac {\eta }{jk}}\left\{{\boldsymbol {\nabla }}_{s}'\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\right\}{\boldsymbol {\nabla }}'G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\right]\,dS'$$где $\mathbf {E} _{\text{inc}}$ – падающее или приложенное электрическое поле. $G(r,r')$ – функция Грина для уравнения Гельмгольца и $\eta$ представляет волновое сопротивление . Граничные условия выполняются на определенной поверхности ФЭП . EFIE — интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

Интегральное уравнение магнитного поля (MFIE)

Другим часто используемым интегральным уравнением в MoM является интегральное уравнение магнитного поля (MFIE), которое можно записать как: $$-{\frac {1}{2}}\mathbf {J} (r)+{\hat {\mathbf {n} }}\times \oint _{S}\mathbf {J} (r')\times {\boldsymbol {\nabla }}'G(r,r')\,dS'={\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {H} _{\text{inc}}(r)$$

MFIE часто формулируется как интегральное уравнение Фредгольма второго рода и, как правило, является корректным . Тем не менее, формулировка требует использования закрытых поверхностей, что ограничивает ее применение.

Другие составы

Существует множество различных формулировок поверхностного и объемного интеграла для MoM. Во многих случаях EFIE преобразуются в интегральные уравнения смешанного потенциала (MFIE) посредством использования калибровочного условия Лоренца ; это направлено на уменьшение порядков сингулярностей за счет использования магнитного вектора и скалярных электрических потенциалов . Чтобы обойти проблему внутреннего резонанса в расчетах диэлектрического рассеяния, также используются формулировки интегрального уравнения комбинированного поля (CFIE) и Поджио-Миллера-Чанга-Харрингтона-Ву-Цая (PMCHWT). Другой подход, объемное интегральное уравнение, требует дискретизации элементов объема и часто требует больших вычислительных затрат.

MoM также можно интегрировать с физической оптики. теорией и метод конечных элементов .

Функции Грина

Основная статья: функция Грина

схема Микрополосковая . МоМ-анализ таких слоистых структур требует вывода соответствующих функций Грина.

Для формулирования матриц МоМ необходимо знать соответствующую функцию Грина для изучаемой структуры: автоматическое включение условия излучения в функцию Грина делает МоМ особенно полезным для решения задач излучения и рассеяния. Несмотря на то, что функция Грина может быть получена в замкнутой форме для очень простых случаев, более сложные структуры требуют численного вывода этих функций.

Полноволновой анализ плоско-слоистых структур, в частности, таких как микрополосковые или патч-антенны , требует вывода функций Грина в пространственной области, которые свойственны этой геометрии. Тем не менее, это включает в себя обратное преобразование Ханкеля спектральной функции Грина, которое определяется на пути интегрирования Зоммерфельда. Этот интеграл не может быть вычислен аналитически, и его численная оценка часто требует больших вычислительных затрат из-за осциллирующих ядер и медленно сходящейся природы интеграла. После выделения квазистатических и поверхностных компонентов полюса эти интегралы могут быть аппроксимированы как комплексные экспоненты замкнутой формы с помощью метода Прони или обобщенного метода пучка функций ; таким образом, пространственные функции Грина могут быть получены с использованием соответствующих тождеств, таких как тождество Зоммерфельда . Этот метод известен в литературе по вычислительной электромагнетике как метод дискретного комплексного изображения (DCIM), поскольку функция Грина эффективно аппроксимируется дискретным количеством диполей изображения , расположенных на комплексном расстоянии от начала координат. Соответствующие функции Грина называются функциями Грина в замкнутой форме. Метод также распространен на цилиндрически-слоистые структуры.

Метод аппроксимации рациональными функциями, а также его комбинации с DCIM, также может использоваться для аппроксимации функций Грина в замкнутой форме. В качестве альтернативы функцию Грина в замкнутой форме можно аппроксимировать методом наискорейшего спуска . Для периодических структур, таких как фазированные решетки , суммирование Эвальда часто используется для ускорения вычисления периодической функции Грина.

См. также

• Метод граничных элементов
• Анализ характеристического режима
• Дискретное дипольное приближение
• Быстрый мультипольный метод
• Метод конечных элементов
• Многоуровневый быстрый многополюсный метод

Ссылки

Библиография

• Баланис, Константин А. (2012). Передовая инженерная электромагнетика (2-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-470-58948-9 .
• Чу, туалет ; Михельсен, Э.; Сонг, Дж. М.; Джин, Дж. М., ред. (2001). Быстрые и эффективные алгоритмы в вычислительной электромагнетике . Артех Хаус. ISBN  9781580531528 .
• Дэвидсон, Дэвид Б. (2005). Вычислительная электромагнетика в радиочастотной и микроволновой технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83859-7 .
• Гибсон, Уолтон К. (2021). Метод моментов в электромагнетике (3-е изд.). Чепмен и Холл. ISBN  9780367365066 .
• Харрингтон, Роджер Ф. (1993). Расчет поля моментными методами . IEEE Пресс. ISBN  9780470544631 .
• Кинайман, Ноян; Аксун, МИ (2005). Современные микроволновые схемы . Норвуд: Артех Хаус . ISBN  9781844073832 .