Разрывный метод Галёркина

В прикладной математике разрывные методы Галёркина (методы ДГ) образуют класс численных методов решения дифференциальных уравнений . Они сочетают в себе особенности метода конечных элементов и модели конечного объема и успешно применяются для решения задач гиперболической , эллиптической , параболической и смешанной формы, возникающих в широком спектре приложений. Методы ДГ, в частности, вызвали значительный интерес для задач с преобладающей частью первого порядка, например, в электродинамике , механике жидкости и физике плазмы . Действительно, решения таких задач могут включать сильные градиенты (и даже разрывы), поэтому классические методы конечных элементов не работают, в то время как методы конечных объемов ограничиваются аппроксимациями низкого порядка.

Разрывные методы Галеркина были впервые предложены и проанализированы в начале 1970-х годов как метод численного решения уравнений в частных производных. В 1973 году Рид и Хилл представили метод ДГ для решения гиперболического уравнения переноса нейтронов.

Происхождение метода ДГ для эллиптических задач нельзя проследить до одной публикации, поскольку такие функции, как штраф за прыжки в современном смысле, развивались постепенно. Однако среди первых влиятельных авторов были Бабушка , Ж.-Л. Лайонс , Иоахим Ниче и Милош Зламал. Методы ДГ для эллиптических задач уже были развиты в статье Гарта Бейкера о постановке уравнений 4-го порядка в 1977 году. Более полный отчет об историческом развитии и введение в методы ДГ для эллиптических задач даны в публикации Арнольда, Бреззи. , Кокберн и Марини. Ряд направлений исследований и проблем, связанных с методами РГ, собраны в сборнике трудов под редакцией Кокберна, Карниадакиса и Шу.

Обзор

Подобно непрерывному методу Галёркина (КГ) , разрывный метод Галёркина (ДГ) представляет собой метод конечных элементов, сформулированный относительно слабой формулировки конкретной модельной системы. В отличие от традиционных методов компьютерной графики, которые соответствуют требованиям , метод DG работает над пробным пространством функций, которые являются только кусочно-непрерывными и, таким образом, часто содержат более инклюзивные функциональные пространства, чем конечномерные подпространства внутреннего продукта, используемые в соответствующих методах.

В качестве примера рассмотрим уравнение неразрывности для скалярной неизвестной $\rho$ в пространственной области $\Omega$ без «источников» или «приемников»:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,$

где $\mathbf {J}$ это поток $\rho$.

Теперь рассмотрим конечномерное пространство разрывных кусочно-полиномиальных функций в пространственной области $\Omega$ ограничено дискретной триангуляцией $\Omega _{h}$, записанный как

$S_{h}^{p}(\Omega _{h})=\{v_{|\Omega _{e_{i}}}\in P^{p}(\Omega _{e_{i}}),\ \ \forall \Omega _{e_{i}}\in \Omega _{h}\}$

для $P^{p}(\Omega _{e_{i}})$ пространство многочленов со степенями меньше или равными $p$ над элементом $\Omega _{e_{i}}$ индексируется $i$. Тогда для функций формы конечных элементов $N_{j}\in P^{p}$ решение представлено

$\rho _{h}^{i}=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\rho _{j}^{i}(t)N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}}.$

Затем аналогично выбираем тестовую функцию

$\varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},$

умножив уравнение неразрывности на $\varphi _{h}^{i}$ и интегрируя по частям в пространстве , полудискретная формулировка ДГ принимает вид:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.$

Скалярный гиперболический закон сохранения

Скалярный гиперболический закон сохранения имеет вид

${\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{for}}\quad t>0,\,x\in \mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{aligned}}$

где пытаются найти неизвестную скалярную функцию $u\equiv u(t,x)$, а функции $f,u_{0}$ обычно даются.

Дискретизация пространства

The $x$-пространство будет дискретизировано как

$\mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,,\quad I_{k}:=\left(x_{k},x_{k+1}\right)\quad {\text{for}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,.$

Кроме того, нам потребуются следующие определения

$h_{k}:=|I_{k}|\,,\quad h:=\sup _{k}h_{k}\,,\quad {\hat {x}}_{k}:=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.$

Основа функционального пространства

Мы получаем базисное представление функционального пространства нашего решения. $u$.Функциональное пространство определяется как

$S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{for}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,,$

где ${v|}_{I_{k}}$ означает ограничение ​ $v$ на интервал $I_{k}$, и $\Pi _{p}$ обозначает пространство многочленов максимальной степени $p$.Индекс $h$ должен показать связь с базовой дискретизацией, заданной $\left(x_{k}\right)_{k}$.Обратите внимание, что $v$ не определяется однозначно в точках пересечения $(x_{k})_{k}$.

Сначала мы используем конкретный полиномиальный базис на интервале $[-1,1]$, полиномы Лежандра $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$, то есть,

$P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,,\quad \dots$

Особо отметим отношения ортогональности

$\left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.$

Преобразование на интервал $[0,1]$, а нормировка достигается функциями $(\varphi _{i})_{i}$

$\varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1]\,,$

которые удовлетворяют соотношению ортонормированности

$\left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.$

Преобразование в интервал $I_{k}$ дается $\left({\bar {\varphi }}_{ki}\right)_{i}$

${\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_{k}}{h_{k}}}\right)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,$

которые выполняют

$\left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.$

Для $L^{\infty }$-нормализацию мы определяем $\varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}$и для $L^{1}$-нормализацию мы определяем ${\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}$, ул.

$\|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.$

Наконец, мы можем определить базисное представление наших решений. $u_{h}$

${\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{aligned}}$

Обратите внимание здесь, что $u_{h}$ не определен в позициях интерфейса.

Кроме того, основания призм используются для плоских структур и способны к гибридизации 2-D/3-D.

DG-схема

Закон сохранения преобразуется в слабую форму путем умножения на тестовые функции и интегрирования по тестовым интервалам.

${\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}$

Используя частичную интеграцию, остается

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}$

Потоки на границах раздела аппроксимируются численными потоками $g$ с

$g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_{k}^{\pm })\,,$

где $u_{k}^{\pm }$ обозначает левые и правые пределы.Наконец, DG-схему можно записать как

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}$

Скалярное эллиптическое уравнение

Скалярное эллиптическое уравнение имеет вид

${\begin{aligned}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g(x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{aligned}}$

Это уравнение представляет собой уравнение теплопроводности установившегося режима, где $u$ это температура. Дискретизация пространства аналогична описанной выше. Напомним, что интервал $(a,b)$ разделен на $N+1$ интервалы длины $h$.

Мы представляем прыжок $[{}\cdot {}]$ и средний $\{{}\cdot {}\}$ функций в узле $x_{k}$:

$[v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}{\Big |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))$

Разрывный метод Галёркина с внутренним штрафом (IPDG): найти $u_{h}$ удовлетворяющий

$A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})$

где билинейные формы $A$ и $A_{\partial }$ являются

$A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}$

и

$A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}$

Линейные формы $\ell$ и $\ell _{\partial }$ являются

$\ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}$

и

$\ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}$

Параметр штрафа $\sigma$ является положительной константой. Увеличение его значения уменьшит скачки в разрывном решении. Термин $\varepsilon$ выбирается равным $-1$ для симметричного внутреннего штрафа метод Галеркина; это равно $+1$ для метода несимметричного внутреннего штрафа Галеркина.

Прямой разрывный метод Галеркина

Прямой разрывный метод Галёркина (DDG) — это новый разрывный метод Галеркина для решения диффузионных задач. В 2009 году Лю и Ян впервые предложили метод ДДГ для решения уравнений диффузии. Преимущества этого метода по сравнению с разрывным методом Галеркина заключаются в том, что прямой разрывный метод Галеркина выводит числовой формат, напрямую беря числовой поток функции и первый член производной без введения промежуточных переменных. Используя этот метод, мы по-прежнему можем получить разумные числовые результаты, а процесс вывода становится более простым, объем вычислений значительно сокращается.

Прямой разрывный метод конечных элементов является ответвлением разрывных методов Галеркина. В основном это включает в себя преобразование задачи в вариационную форму, разделение региональных единиц, построение базисных функций, формирование и решение разрывных уравнений конечных элементов, а также анализ сходимости и ошибок.

Например, рассмотрим нелинейное уравнение диффузии, которое является одномерным:

$U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)$, в котором $U(x,0)=U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)$

Дискретизация пространства

Во-первых, определите $\left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\right),j=1...N\right\}$, и $\Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}$. Поэтому мы выполнили пространственную дискретизацию $x$. Также определите $\Delta x=\max _{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}$.

Мы хотим найти приближение $u$ к $U$ такой, что $\forall t\in \left[0,T\right]$, $u\in \mathbb {V} _{\Delta x}$,

$\mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\right):{v|}_{I_{j}}\in P^{k}\left(I_{j}\right),\ j=1,...,N\right\}$, $P^{k}\left(I_{j}\right)$ пространство полиномов в $I_{j}$ со степенью максимум $k$.

Формулировка схемы

Поток: $h:=h\left(U,U_{x}\right)=a\left(U\right)U_{x}$.

$U$: точное решение уравнения.

Умножим уравнение на гладкую функцию $v\in H^{1}\left(0,1\right)$ так что мы получаем следующие уравнения:

$\int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j-{\frac {1}{2}}}v_{j-{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0$,

$\int _{I_{j}}U\left(x,0\right)v\left(x\right)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\left(x\right)v\left(x\right)dx$

Здесь $v$ произвольно, точное решение $U$ уравнения заменяется приближенным решением $u$, то есть необходимое нам численное решение получается путем решения дифференциальных уравнений.

Числовой поток

Выбор правильного числового потока имеет решающее значение для точности метода ДДГ.

Числовой поток должен удовлетворять следующим условиям:

♦ Это соответствует $h={b\left(u\right)}_{x}=a\left(u\right)u_{x}$

♦ Числовой поток консервативен в одном значении на $x_{j+{\frac {1}{2}}}$.

♦ Имеет $L^{2}$-стабильность;

♦ Это может повысить точность метода.

Таким образом, дана общая схема численного потока:

${\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]$

В этом потоке, $k$ – максимальный порядок полиномов в двух соседних вычислительных блоках. $\left[\cdot \right]$ это скачок функции. Обратите внимание, что в неравномерных сетках $\Delta x$ должно быть $\left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)$ и ${\frac {1}{N}}$ в однородных сетках.

Оценки ошибок

Обозначим, что ошибка между точным решением $U$ и численное решение $u$ является $e=u-U$ .

Мы измеряем погрешность следующей нормой:

$\left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}$

и у нас есть $\left|\left|\left|U(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|$, $\left|\left|\left|u(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|$

См. также

• Метод Галеркина

Ссылки

• Д. Н. Арнольд, Ф. Бреззи, Б. Кокберн и Л. Д. Марини, Унифицированный анализ разрывных методов Галеркина для эллиптических задач , SIAM J. Numer. Анальный. 39(5):1749–1779, 2002.
• Г. Бейкер, Методы конечных элементов для эллиптических уравнений с использованием несогласованных элементов , Math. Комп. 31 (1977), вып. 137, 45–59.
• А. Канджиани, З. Донг, Э. Х. Георгулис и П. Хьюстон, Разрывные методы Галеркина в версии hp для многоугольных и многогранных сеток , SpringerBriefs in Mathematics (декабрь 2017 г.).
• В. Май, Дж. Ху, П. Ли и Х. Чжао, « Эффективный и стабильный 2-D/3-D гибридный разрывный анализ Галеркина во временной области с адаптивным критерием для антиплощадок произвольной формы в дисперсионной паре параллельных пластин» , IEEE Trans. Микроу. Теория Техн. , том. 65, нет. 10, стр. 3671–3681, октябрь 2017 г.
• В. Май и др. , « Простой критерий обновления для 2-D/3-D гибридного разрывного метода Галеркина во временной области, контролирующего сравнительную ошибку », IEEE Trans. Микроу. Теория Техн. , том. 66, нет. 4, стр. 1713–1722, апрель 2018 г.
• Б. Кокберн, Г.Е. Карниадакис и К.-В. Шу (ред.), Разрывные методы Галёркина. Теория, вычисления и приложения , Конспекты лекций по вычислительной науке и технике, 11. Springer-Verlag, Берлин, 2000.
• П. Лесэн и П. А. Равиар. «О методе конечных элементов решения уравнения переноса нейтронов». Математические аспекты конечных элементов в уравнениях в частных производных 33 (1974): 89–123.
• Д. А. Ди Пьетро, ​​А. Эрн, Математические аспекты разрывных методов Галёркина . Mathématiques et Applications, Vol. 69, Шпрингер-Верлаг, Берлин, 2011 г.
• Дж. С. Хестхавен и Т. Уорбертон, Узловые разрывные методы Галеркина: алгоритмы, анализ и приложения . Тексты Springer по прикладной математике 54. Springer Verlag, Нью-Йорк, 2008.
• Ривьер Б. А. « Разрывные методы Галёркина для решения эллиптических и параболических уравнений: теория и реализация» . Границы SIAM в прикладной математике, 2008.
• CFD Wiki http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinious_Galerkin
• WH Reed и TR Hill, Методы треугольной сетки для уравнения переноса нейтронов , Tech. Отчет LA-UR-73–479, Лос-Аламосская научная лаборатория, 1973 г.