Функциональное пространство

В математике функциональное пространство это набор функций — между двумя фиксированными наборами. Часто домен и/или кодомен будет иметь дополнительную структуру , наследуемую функциональным пространством. Например, набор функций из любого множества X в векторное пространство имеет естественную структуру векторного пространства, заданную поточечным сложением и скалярным умножением. В других сценариях функциональное пространство может наследовать топологическую или метрическую структуру, отсюда и название функционального пространства .

В линейной алгебре [ править ]

Пусть F — поле и X — любое множество. Функциям X → F можно придать структуру векторного пространства над F , где операции определяются поточечно, то есть для любых f , g : X → F , любого x в X и любого c в F определите

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}

Когда область X имеет дополнительную структуру, вместо этого можно рассматривать подмножество (или подпространство ) всех таких функций, которые соблюдают эту структуру. Например, если V , а также сам X являются векторными пространствами над F , набор линейных отображений X → V образует векторное пространство над F с поточечными операциями (часто обозначаемыми Hom ( X , V )). Одним из таких пространств является пространство двойственное к X : набор линейных функционалов X → F со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно.

Примеры [ править ]

Функциональные пространства появляются в различных областях математики:

В теории множеств набор функций от X до Y может обозначаться { X → Y } или Y. ^Х.
- В частном случае набор степеней набора X можно отождествить с набором всех функций от X до {0, 1}, обозначаемым 2 ^Х.
Множество биекций из X в Y обозначается $X\leftrightarrow Y$ . Факториальная запись X ! может использоваться для перестановок одного X. набора
В функциональном анализе то же самое наблюдается для непрерывных линейных преобразований, включая топологии векторных пространств, упомянутых выше, и многие из основных примеров являются функциональными пространствами, несущими топологию ; наиболее известные примеры включают гильбертово пространство и банахово пространство .
В функциональном анализе совокупность всех функций от натуральных чисел до некоторого множества X называется пространством последовательностей . Он состоит из множества всех возможных последовательностей элементов X .
В топологии можно попытаться разместить топологию в пространстве непрерывных функций из топологического пространства X в другое Y , причем полезность зависит от природы пространств. Обычно используемым примером является компактно-открытая топология , например пространство петель . Также доступна топология произведения в пространстве теоретико-множественных функций (т.е. не обязательно непрерывных функций) Y ^Х. В этом контексте эту топологию также называют топологией поточечной сходимости .
В алгебраической топологии изучение гомотопической теории по сути представляет собой изучение дискретных инвариантов функциональных пространств;
В теории случайных процессов основная техническая проблема состоит в том, как построить вероятностную меру на функциональном пространстве путей процесса (функций времени);
В теории категорий функциональное пространство называется экспоненциальным объектом или объектом карты . представления В каком-то смысле он появляется как канонический бифунктор ; но как (одиночный) функтор типа [ X , -] он появляется как сопряженный функтор функтору типа (-× X ) на объектах;
В функциональном программировании и лямбда-исчислении типы функций используются для выражения идеи функций высшего порядка .
В теории предметной области основная идея состоит в том, чтобы найти конструкции из частичных порядков с хорошим поведением , которые могут моделировать лямбда-исчисление, путем создания декартовой замкнутой категории .
В теории представлений конечных групп по двум конечномерным представлениям V и W группы G можно сформировать представление G над векторным пространством линейных отображений Hom( V , W ), называемое представлением Hom . ^[1]

Функциональный анализ [ править ]

Функциональный анализ организован вокруг адекватных методов, позволяющих сделать функциональные пространства как топологические векторные пространства доступными для идей, которые применимы к нормированным пространствам конечной размерности. Здесь мы используем реальную линию в качестве примера области, но пространства ниже существуют в подходящих открытых подмножествах. $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$

$C(\mathbb {R} )$ непрерывные функции, наделенные топологией равномерной нормы
$C_{c}(\mathbb {R} )$ непрерывные функции с компактной поддержкой
$B(\mathbb {R} )$ ограниченные функции
$C_{0}(\mathbb {R} )$ непрерывные функции, исчезающие на бесконечности
$C^{r}(\mathbb {R} )$ непрерывные функции, имеющие непрерывные первые r производные.
$C^{\infty }(\mathbb {R} )$ гладкие функции
$C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ плавные функции с компактной поддержкой
$C^{\omega }(\mathbb {R} )$ действительные аналитические функции
$L^{p}(\mathbb {R} )$ , для $1\leq p\leq \infty$ , это L ^п пространство измеримых функций , которых p -норма ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$ конечно
${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ , пространство Шварца гладких быстро убывающих функций и его непрерывный двойственный, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ умеренные распределения
$D(\mathbb {R} )$ компактная поддержка в предельной топологии
$W^{k,p}$ Пространство Соболева функций, слабые производные которых до порядка k лежат в $L^{p}$
${\mathcal {O}}_{U}$ голоморфные функции
линейные функции
кусочно-линейные функции
непрерывные функции, компактная открытая топология
все функции, пространство поточечной сходимости
Харди космос
Пространство Гёльдера
Функции Кадлага , также известные как Скорохода. пространство
${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$ , пространство всех липшицевых функций на $\mathbb {R}$ которые исчезают в нуле.

Норма [ править ]

Если $y$ является элементом функционального пространства ${\mathcal {C}}(a,b)$ всех непрерывных функций , определенных на отрезке $[a, b]$ , норма $\|y\|_{\infty }$ определено на ${\mathcal {C}}(a,b)$ — максимальное абсолютное значение $y (x)$ для $a \leq x \leq b$ , ^[2]

\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)

называется единой нормой или супремум-нормой («суп-нормой»).

Библиография [ править ]

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1967). Элементы теории функций и функционального анализа. Публикации Courier Dover.
Штейн, Элиас; Шакарчи, Р. (2011). Функциональный анализ: введение в дополнительные темы анализа. Издательство Принстонского университета.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958 .
^ Гельфанд, ИМ ; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полное издание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485 .

[1] Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958 .

[GelfandFominP6-2] Гельфанд, ИМ ; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полное издание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485 .

[1]

[2]