Функциональный определитель

В функциональном анализе , разделе математики , иногда можно обобщить понятие определителя квадратной матрицы конечного порядка (представляющего линейное преобразование конечномерного векторного пространства в себя) на бесконечномерный случай линейный оператор S , отображающий функциональное пространство V в себя. Соответствующая величина det( S ) называется функциональным определителем S .

Существует несколько формул функционального определителя. Все они основаны на том, что определитель конечной матрицы равен произведению собственных значений матрицы. Математически строгое определение дается через дзета-функцию оператора ,

$\zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,$

где tr обозначает функциональный след : определитель тогда определяется выражением

$\det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,$

где дзета-функция в точке s = 0 определяется аналитическим продолжением . Другое возможное обобщение, часто используемое физиками при использовании формализма интеграла по траекториям Фейнмана в квантовой теории поля (QFT), использует функциональное интегрирование :

$\det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.$

Этот интеграл по путям хорошо определен только с точностью до некоторой расходящейся мультипликативной константы. Чтобы придать ему строгий смысл, его необходимо разделить с помощью другого функционального детерминанта, тем самым эффективно устраняя проблематичные «константы».

Теперь это, по-видимому, два разных определения функционального определителя: одно из квантовой теории поля, а другое из спектральной теории . Каждый из них предполагает некоторую регуляризацию : в популярном в физике определении два определителя можно сравнивать только друг с другом; в математике использовалась дзета-функция. Осгуд, Филлипс и Сарнак (1988) показали, что результаты, полученные путем сравнения двух функциональных определителей в формализме КТП, согласуются с результатами, полученными с помощью дзета-функционального определителя.

Определение формул

Интегральная версия пути

Для положительного самосопряженного оператора S в конечномерном евклидовом пространстве V формула

${\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx$

держит.

Проблема состоит в том, чтобы найти способ понять определитель оператора S в бесконечномерном функциональном пространстве. Один из подходов, предпочитаемый в квантовой теории поля, в котором функциональное пространство состоит из непрерывных путей на замкнутом интервале, состоит в формальной попытке вычислить интеграл

$\int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi$

где V — функциональное пространство и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ Л ​ ² внутренний продукт и ${\mathcal {D}}\phi$ Винера мера . Основное предположение о S состоит в том, что он должен быть самосопряженным и иметь дискретный спектр λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... с соответствующим набором собственных функций f ₁ , f ₂ , f ₃ , ... которые завершено в L ² (как, например, было бы в случае оператора второй производной на компактном интервале Ω). что все функции φ можно записать как линейные комбинации функций fi _: Грубо говоря, это означает ,

$|\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .$

Следовательно, внутренний продукт в экспоненте можно записать как

$\langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.$

В базисе функций f _i функциональное интегрирование сводится к интегрированию по всем базисным функциям. Формально, если предположить, что наша интуиция из конечномерного случая переносится в бесконечномерную ситуацию, тогда мера должна быть равна

${\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.$

Это делает функциональный интеграл произведением гауссовских интегралов :

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.$

Затем можно вычислить интегралы, дав

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}$

где N — бесконечная константа, с которой необходимо справиться с помощью некоторой процедуры регуляризации. Произведение всех собственных значений равно определителю для конечномерных пространств, и мы формально определяем, что это справедливо и в нашем бесконечномерном случае. Это приводит к формуле

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.$

Если все величины сходятся в соответствующем смысле, то функциональный определитель можно описать как классический предел (Уотсон и Уиттекер). В противном случае необходимо выполнить какую-то регуляризацию . Самым популярным из них для вычисления функциональных определителей является регуляризация дзета-функции . Например, это позволяет вычислить определитель операторов Лапласа и Дирака на римановом многообразии , используя дзета-функцию Минакшисундарама–Плейеля . В противном случае также можно рассмотреть частное двух определителей, сокращая расходящиеся константы.

Версия дзета-функции

Пусть S — эллиптический дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, положительный на функциях компактного носителя . То есть существует константа c > 0 такая, что

$\langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle$

для всех гладких функций φ с компактным носителем. Тогда S имеет самосопряженное расширение до оператора в L ² с нижней границей c . Собственные значения S можно расположить в последовательности

$0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .$

Тогда дзета-функция S определяется рядом:

$\zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.$

Известно, что ζ _S имеет мероморфное продолжение на всю плоскость. Более того, хотя дзета-функцию можно определить и в более общих ситуациях, дзета-функция эллиптического дифференциального оператора (или псевдодифференциального оператора) регулярна при $s=0$.

Формально почленное дифференцирование этого ряда дает

$\zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},$

и поэтому, если функциональный определитель четко определен, то он должен иметь вид

$\det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).$

Поскольку аналитическое продолжение дзета-функции регулярно в нуле, это можно строго принять в качестве определения определителя.

Этот вид дзета-регуляризованного функционального определителя также появляется при вычислении сумм вида ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$. Интеграция дара без ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$который можно просто рассматривать как логарифм определителя гармонического осциллятора . Это последнее значение как раз равно $-\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)$, где $\zeta _{H}(s,a)$ – дзета-функция Гурвица .

Практический пример

Бесконечная потенциальная яма с А = 0.

Бесконечная потенциальная яма

Вычислим определитель следующего оператора, описывающего движение квантовомеханической частицы в бесконечной потенциальной яме :

$\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),$

где A — глубина потенциала, а L — длина ямы. Мы вычислим этот определитель путем диагонализации оператора и умножения собственных значений . Чтобы не возиться с неинтересной дивергентной константой, вычислим частное между определителями оператора с глубиной А и оператора с глубиной А = 0. Собственные значения этого потенциала равны

$\lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).$

Это значит, что

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$

Теперь мы можем использовать для Эйлера представление бесконечного произведения функции синуса :

$\sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$

аналогичную формулу для гиперболического синуса из которой можно вывести :

$\sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$

Применяя это, мы находим, что

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.$

вычисления функционального

Для одномерных потенциалов существует короткий путь, позволяющий найти функциональный определитель. Он основан на рассмотрении следующего выражения:

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}$

где m — комплексная константа. Это выражение является мероморфной функцией m , имеющей нули, когда m равно собственному значению оператора с потенциалом V ₁ ( x ), и полюс, когда m является собственным значением оператора с потенциалом V ₂ ( x ). Теперь рассмотрим функции ψ ^м
₁ и ψ ^м
₂ с

$\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0$

подчиняясь граничным условиям

$\psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.$

Если мы построим функцию

$\Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},$

которая также является мероморфной функцией от m , мы видим, что она имеет точно такие же полюса и нули, что и частное определителей, которые мы пытаемся вычислить: если m является собственным значением оператора номер один, то ψ ^м
₁ ( x ) будет его собственной функцией, что означает ψ ^м
₁ ( л ) знак равно 0 ; и аналогично для знаменателя. По теореме Лиувилля две мероморфные функции с одинаковыми нулями и полюсами должны быть пропорциональны друг другу. В нашем случае константа пропорциональности оказывается единицей, и мы получаем

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}$

для всех значений m . При m = 0 получаем

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.$

бесконечном потенциале

С помощью этого формализма проще решить проблему из предыдущего раздела. Функции ψ ⁰
_я ( х ) подчиняюсь

${\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}$

давая следующие решения:

${\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}$

Это дает окончательное выражение

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.$

См. также

• Абстрактное Винеровское пространство
• в Березине
• Определитель Фредгольма
• Метод Фудзикавы
• Призрак Фаддеева-Попова.

Ссылки

• Берлин, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , ISBN  978-3-540-20062-8
• Брэнсон, Томас П. (2007), «Q-кривизна, спектральные инварианты и теория представлений», Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения , 3 : Статья 090, 31, arXiv : 0709.2471 , Bibcode : 2007SIGMA...3 ..090B , doi : 10.3842/SIGMA.2007.090 , ISSN   1815-0659 , MR   2366932 , S2CID   14629173
• Брэнсон, Томас П. (1993), Функциональный детерминант , Серия конспектов лекций, том. 4, Сеул: Исследовательский центр глобального анализа математического исследовательского института Сеульского национального университета, MR   1325463
• Хёрмандер, Ларс (1968), «Спектральная функция эллиптического оператора», Acta Mathematica , 121 : 193–218, doi : 10.1007/BF02391913 , ISSN   0001-5962 , MR   0609014
• Осгуд, Б.; Филлипс, Р.; Сарнак, Питер (1988), «Экстремали определителей лапласианов», Журнал функционального анализа , 80 (1): 148–211, doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5 , ISSN   0022-1236 , MR   0960228
• Рэй, Д.Б.; Зингер, И.М. (1971), « R -кручение и лапласиан на римановых многообразиях», Успехи в математике , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR   0295381
• Сили, RT (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 288–307, MR   0237943
• Шубин, М.А. (1987), Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория , Ряды Спрингера в советской математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-13621-7 , МР   0883081