Метод Фудзикавы

В физике — метод Фудзикавы это способ вывода киральной аномалии в квантовой теории поля . Он использует соответствие между функциональными определителями и статистической суммой , эффективно используя теорему об индексе Атьи-Зингера .

Вывод

Предположим, что дано поле Дирака $\psi$ который преобразуется в соответствии с представлением $\rho$ компактной группы Ли G ; и у нас есть фоновая форма связи принятия значений в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}\,.$ Оператор Дирака (в обозначениях Фейнмана с косой чертой ) равен

$D\!\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial \!\!\!/+iA\!\!\!/$

а фермионное действие определяется выражением

$\int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!\!/\psi$

Функция разделения ​

$Z[A]=\int {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \,e^{-\int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!/\,\psi }.$

Преобразование осевой симметрии происходит как

$\psi \to e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}\psi \,$

${\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}$

$S\to S+\int d^{d}x\,\alpha (x)\partial _{\mu }\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi \right)$

Классически это означает, что киральный ток, $j_{d+1}^{\mu }\equiv {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi$ сохраняется, $0=\partial _{\mu }j_{d+1}^{\mu }$.

Квантово-механически киральный ток не сохраняется: Джекив обнаружил это благодаря неисчезновению треугольной диаграммы. Фудзикава интерпретировал это как изменение меры статистической суммы при киральном преобразовании. Чтобы вычислить изменение меры при киральном преобразовании, сначала рассмотрим фермионы Дирака в базисе собственных векторов оператора Дирака :

$\psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{i},$

${\overline {\psi }}=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{i},$

где $\{a^{i},b^{i}\}$ – коэффициенты со значениями Грассмана , а $\{\psi _{i}\}$ являются собственными векторами оператора Дирака :

$D\!\!\!\!/\psi _{i}=-\lambda _{i}\psi _{i}.$

Собственные функции считаются ортонормированными относительно интегрирования в d-мерном пространстве:

$\delta _{i}^{j}=\int {\frac {d^{d}x}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger j}(x)\psi _{i}(x).$

Тогда мера интеграла по путям определяется как:

${\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}$

При бесконечно малом киральном преобразовании запишите

$\psi \to \psi ^{\prime }=(1+i\alpha \gamma _{d+1})\psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{\prime i},$

${\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}^{\prime }={\overline {\psi }}(1+i\alpha \gamma _{d+1})=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{\prime i}.$

Теперь можно вычислить якобиан . преобразования, используя ортонормированность собственных векторов

$C_{j}^{i}\equiv \left({\frac {\delta a}{\delta a^{\prime }}}\right)_{j}^{i}=\int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)[1-i\alpha (x)\gamma _{d+1}]\psi _{j}(x)=\delta _{j}^{i}\,-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x).$

Преобразование коэффициентов $\{b_{i}\}$ рассчитываются таким же образом. Наконец, квантовая мера меняется как

${\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}=\prod \limits _{i}da^{\prime i}db^{\prime i}{\det }^{-2}(C_{j}^{i}),$

где якобиан является обратной величиной определителя, поскольку переменные интегрирования являются грассмановыми, а 2 появляется потому, что a и b вносят одинаковый вклад. Определитель можно вычислить стандартными методами:

${\begin{aligned}{\det }^{-2}(C_{j}^{i})&=\exp \left[-2{\rm {tr}}\ln(\delta _{j}^{i}-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x))\right]\\&=\exp \left[2i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{i}(x)\right]\end{aligned}}$

первому порядку по α(x).

Специализируясь на случае, когда α является константой, якобиан должен быть регуляризован, поскольку интеграл неправильно определен в написанном виде. Фудзикава применил регуляризацию теплового ядра , так что

${\begin{aligned}-2{\rm {tr}}\ln C_{j}^{i}&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{-\lambda _{i}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\\&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{{D\!\!\!/\,}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\end{aligned}}$

( ${D\!\!\!\!/}^{2}$ можно переписать как $D^{2}+{\tfrac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }$, а собственные функции можно разложить в базисе плоских волн)

$=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\int {\frac {d^{d}k^{\prime }}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger i}(k^{\prime })e^{ik^{\prime }x}\gamma _{d+1}e^{-k^{2}/M^{2}+1/(4M^{2})[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}e^{-ikx}\psi _{i}(k)$

$=-{\frac {-2\alpha }{(2\pi )^{d/2}({\frac {d}{2}})!}}(F)^{d/2},$

после применения соотношения полноты для собственных векторов, выполнения трассировки по γ-матрицам и достижения предела в M. Результат выражается через напряженности поля : 2-форму $F\equiv {\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\,.$

Этот результат эквивалентен $({\tfrac {d}{2}})^{\rm {th}}$ Черна Класс ${\mathfrak {g}}$-расслоение по d-мерному базовому пространству и дает киральную аномалию , ответственную за несохранение кирального тока.

Ссылки

• К. Фудзикава и Х. Судзуки (май 2004 г.). Интегралы по траекториям и квантовые аномалии . Кларендон Пресс. ISBN   0-19-852913-9 .
• С. Вайнберг (2001). Квантовая теория полей . Том II: Современные приложения .. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-55002-5 .