Оператор Дирака

В математике и квантовой механике оператор Дирака — это дифференциальный оператор , который является формальным квадратным корнем или полуитерацией оператора второго порядка, такого как лапласиан . Первоначальный случай, касавшийся Поля Дирака, заключался в формальной факторизации оператора пространства Минковского , чтобы получить форму квантовой теории, совместимую со специальной теорией относительности ; чтобы получить соответствующий лапласиан как произведение операторов первого порядка, он ввел спиноры . Впервые оно было опубликовано в 1928 году Дираком. ^[1]

Формальное определение [ править ]

В общем, пусть D — дифференциальный оператор первого порядка, действующий на векторном расслоении V над римановым многообразием M . Если

D^{2}=\Delta ,\,

где ∆ — лапласиан V , то D называется оператором Дирака .

В физике высоких энергий это требование часто ослабляют: только часть второго порядка D ² должно быть равно лапласиану.

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

D = − i ∂ _x — оператор Дирака на касательном расслоении над прямой.

Пример 2 [ править ]

Рассмотрим простой пакет, имеющий большое значение в физике: конфигурационное пространство частицы со спином 1/2 . многообразием ограничено плоскостью, которая также является основным Он представлен волновой функцией ψ : R ² → С ²

\psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}

где x и y — обычные координатные функции на R ². χ задает амплитуду вероятности того, что частица окажется в состоянии со спином вверх, и аналогично для η . так называемый спин-оператор Дирака Тогда можно записать

D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},

где σi _— матрицы Паули . Заметим, что антикоммутационные соотношения для матриц Паули делают доказательство указанного выше определяющего свойства тривиальным. Эти отношения определяют понятие алгебры Клиффорда .

Решения уравнения Дирака для спинорных полей часто называют гармоническими спинорами . ^[2]

Пример 3 [ править ]

Оператор Дирака Фейнмана описывает распространение свободного фермиона в трех измерениях и элегантно записан

D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,

используя слэш-нотацию Фейнмана . Во вводных учебниках по квантовой теории поля это будет выглядеть в виде

D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta

где ${\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$ являются недиагональными матрицами Дирака $\alpha _{i}=\beta \gamma _{i}$ , с $\beta =\gamma _{0}$ а остальные константы $c$ скорость света , $\hbar$ Планка постоянная и $m$ масса электрона фермиона (например, ) . Он действует на четырехкомпонентную волновую функцию $\psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})$ , пространство Соболева гладких функций, интегрируемых с квадратом. Его можно расширить до самосопряженного оператора в этой области. Квадрат в данном случае является не лапласианом, а $D^{2}=\Delta +m^{2}$ (после установки $\hbar =c=1.$ )

Пример 4 [ править ]

Другой оператор Дирака возникает в анализе Клиффорда . В евклидовом n -пространстве это

D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}

где { e _j : j = 1, ..., n } — ортонормированный базис евклидова n -пространства, а R ^н считается вложенным в алгебру Клиффорда .

Это частный случай оператора Атьи–Зингера–Дирака, действующего на сечениях спинорного расслоения .

Пример 5 [ править ]

Для спинового многообразия M оператор Атьи–Зингера–Дирака локально определяется следующим образом: для x ∈ M и e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) локальный ортонормированный базис для касательного пространства M в точке x оператор Атьи–Зингера–Дирака равен

D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},

где ${\tilde {\Gamma }}$ — спиновая связность , поднятие связности Леви-Чивита на M до расслоения над M. спинорного Квадрат в данном случае является не лапласианом, а $D^{2}=\Delta +R/4$ где $R$ – скалярная кривизна связи. ^[3]

Пример 6 [ править ]

На римановом многообразии $(M,g)$ размера $n=dim(M)$ с соединением Леви-Чивита $\nabla$ и ортонормированный базис $\{e_{a}\}_{a=1}^{n}$ , мы можем определить внешнюю производную $d$ и кодовая производная $\delta$ как

d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}

.

Тогда мы можем определить оператор Дирака-Келера ^[4]^[5]^[6] $D$ , следующее

D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta

.

Оператор действует на сечениях расслоения Клиффорда в целом и может быть ограничен спинорным расслоением, идеалом расслоения Клиффорда, только если оператор проектирования на идеал параллелен. ^[4]^[5]^[6]

Обобщения [ править ]

В анализе Клиффорда оператор D : C ^∞( Р ^к ⊗ Р ^н, С ) → С ^∞( Р ^к ⊗ Р ^н, С ^к ⊗ S ), действующий на спинорнозначные функции, определяемые формулой

f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}

иногда называют оператором Дирака от k переменных Клиффорда. В обозначениях S — пространство спиноров, $x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})$ являются n -мерными переменными и $\partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}$ – оператор Дирака в i -й переменной. Это общее обобщение оператора Дирака ( k = 1 ) и оператора Дольбо ( n = 2 , k произвольно). Это инвариантный дифференциальный оператор , инвариантный относительно действия группы SL( k ) × Spin( n ) . Разрешение D случаях . известно только в некоторых частных

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Модхон Альварес, Диего (2020). Операторы Дирака (PDF) (дипломная работа). Университет Сантьяго де Компостела.
^ «Спинорная структура» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)», Springer. См. раздел 3.4, стр. 142 и далее.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Граф, Вольфганг (1978). «Дифференциальные формы как спиноры» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Бенн, Ян М.; Такер, Робин В. (1987). Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике . А. Хильгер. ISBN 978-0-85274-169-6 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Кыся, Радослав Антоний (29 июля 2022 г.). «Лемма Пуанкаре для кодифференциальных, антикоточных форм и приложений к физике» . Результаты по математике . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . дои : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1420-9012 . S2CID 221802588 .

Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1
Коломбо, Ф., И.; Сабадини, И. (2004), Анализ систем Дирака и вычислительной алгебры , Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5

[:6-1] Модхон Альварес, Диего (2020). Операторы Дирака (PDF) (дипломная работа). Университет Сантьяго де Компостела.

[2] «Спинорная структура» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[3] Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)», Springer. См. раздел 3.4, стр. 142 и далее.

[:0-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Граф, Вольфганг (1978). «Дифференциальные формы как спиноры» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .

[:1-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Бенн, Ян М.; Такер, Робин В. (1987). Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике . А. Хильгер. ISBN 978-0-85274-169-6 .

[:2-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Кыся, Радослав Антоний (29 июля 2022 г.). «Лемма Пуанкаре для кодифференциальных, антикоточных форм и приложений к физике» . Результаты по математике . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . дои : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1420-9012 . S2CID 221802588 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]