Функциональный квадратный корень

В математике функциональный квадратный корень (иногда называемый полуитерацией ) — это квадратный корень из функции относительно операции композиции функции . Другими словами, функциональный квадратный корень из функции $g$ — это функция $f,$ удовлетворяющая условиям $f (f (x)) = g (x)$ для всех $x$ .

Обозначения

Обозначения, выражающие то, что $f$ является функциональным квадратным корнем из $g,$ следующие: $f = g [1/2]$ и $f = g 1/2$ . ^{[ нужна ссылка ]}

История

Функциональный квадратный корень из показательной функции (теперь известной как полуэкспоненциальная функция ) был изучен Хельмутом Кнезером в 1950 году. ^[1]
Решения $f (f (x)) = x$ по $\mathbb {R}$ ( инволюции действительных чисел ) были впервые изучены Чарльзом Бэббиджем в 1815 году, и это уравнение называется функциональным уравнением Бэббиджа . ^[2] Частным решением является $f (x) = (b - x)/(1 + cx)$ для $bc \neq -1$ . Бэббидж заметил, что для любого данного решения $f$ его функциональный сопряженный $Ψ -1 \circ f \circ Ψ$ произвольной обратимой функцией $Ψ$ также является решением. Другими словами, группа всех обратимых функций на вещественной прямой действует на подмножестве, состоящем из решений функционального уравнения Бэббиджа путем сопряжения .

Решения

Систематическая процедура получения произвольных функциональных $n$ -корней (включая произвольные действительные, отрицательные и бесконечно малые $n$ ) функций. $g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ опирается на решения уравнения Шредера . ^[3]^[4]^[5] Бесконечно много тривиальных решений существует, когда область определения корневой функции f может быть достаточно больше, чем область определения g .

Примеры

$ж (Икс) знак равно 2 Икс 2$ является функциональным квадратным корнем из $g (x) = 8 x 4$ .
Функциональный квадратный корень из $n-$ го полинома Чебышева , $g(x)=T_{n}(x)$ , является $f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}$ , который, вообще говоря, не является полиномом .
$f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))$ является функциональным квадратным корнем из $g(x)=x/(2-x)$ .

грех [2] (x) = грех (sin (x))

[ красная кривая]

sin [1] (x) = sin(x) = rin(rin(x))

[ синяя кривая]

грех [ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ ] ( x ) = rin( x ) = qin (qin ( x ))

[ оранжевая кривая]

грех [⁠ 1 / 4 ⁠] (x) = qin(x)

[черная кривая над оранжевой кривой]

sin [-1] (x) = arcsin(x)

[пунктирная кривая]

(Видеть. ^[6] Обозначения см. в [1]. Архивировано 5 декабря 2022 г. на Wayback Machine .)

См. также

Ссылки

^ Кнезер, Х. (1950). «Вещественные аналитические решения уравнения φ ( φ ( x )) = e ^х и родственные функциональные уравнения» . Журнал чистой и прикладной математики . 187 : 56–67. doi : 10.1515/crll.1950.187.56 . S2CID 118114436 .
^ Джереми Грей и Карен Паршалл (2007) Эпизоды истории современной алгебры (1800–1950) , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4343-7
^ Шредер, Э. (1870). «Об итерированных функциях» . Математические летописи . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992 . S2CID 116998358 .
^ Секерес, Г. (1958). «Регулярное итерирование реальных и сложных функций» . Акта Математика . 100 (3–4): 361–376. дои : 10.1007/BF02559539 .
^ Куртрайт, Т .; Захос, К. ; Джин, X. (2011). «Приближенные решения функциональных уравнений». Журнал физики А. 44 (40): 405205. arXiv : 1105.3664 . Бибкод : 2011JPhA...44N5205C . дои : 10.1088/1751-8113/44/40/405205 . S2CID 119142727 .
^ Куртрайт, Т.Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера. Архивировано 30 октября 2014 г. в Wayback Machine .

[sqrtexp-1] Кнезер, Х. (1950). «Вещественные аналитические решения уравнения φ ( φ ( x )) = e ^х и родственные функциональные уравнения» . Журнал чистой и прикладной математики . 187 : 56–67. doi : 10.1515/crll.1950.187.56 . S2CID 118114436 .

[2] Джереми Грей и Карен Паршалл (2007) Эпизоды истории современной алгебры (1800–1950) , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4343-7

[schr-3] Шредер, Э. (1870). «Об итерированных функциях» . Математические летописи . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992 . S2CID 116998358 .

[4] Секерес, Г. (1958). «Регулярное итерирование реальных и сложных функций» . Акта Математика . 100 (3–4): 361–376. дои : 10.1007/BF02559539 .

[5] Куртрайт, Т .; Захос, К. ; Джин, X. (2011). «Приближенные решения функциональных уравнений». Журнал физики А. 44 (40): 405205. arXiv : 1105.3664 . Бибкод : 2011JPhA...44N5205C . дои : 10.1088/1751-8113/44/40/405205 . S2CID 119142727 .

[6] Куртрайт, Т.Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера. Архивировано 30 октября 2014 г. в Wayback Machine .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]