уравнение Абеля

Эта статья о некоторых функциональных уравнениях. Об обыкновенных дифференциальных уравнениях, кубических относительно неизвестной функции, см. Уравнение Абеля первого рода .

Уравнение Абеля , названное в честь Нильса Хенрика Абеля , представляет собой разновидность функционального уравнения вида

$f(h(x))=h(x+1)$

или

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$.

Формы эквивалентны, α обратимо когда . h или α управляют итерацией f ​ .

Эквивалентность

Второе уравнение можно записать

$\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$

Взяв x = α ⁻¹ ( y ) , уравнение можно записать

$f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$

Для известной функции f ( x ) задача состоит в том, чтобы решить функциональное уравнение для функции α ⁻¹ ≡ h , возможно, удовлетворяющий дополнительным требованиям, таким как α ⁻¹ (0) = 1 .

Замена переменных s ^{а ( х )} = Ψ( x ) для вещественного параметра s приводит уравнение Абеля к знаменитому уравнению Шредера Ψ ( f ( x )) = s Ψ( x ) .

Дальнейшее изменение F ( x ) = exp( s ^{а ( х )} ) в уравнение Бетчера , F ( f ( x )) = F ( x ) ^с .

Уравнение Абеля является частным случаем (и легко обобщается) уравнения переноса ,

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,$

например, для $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$. (Обратите внимание: ω ( x ,0) = x .)

Функция Абеля α ( x ) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли ( группы Ли с одним параметром ).

См. Также: Итерированная функция § Абелевое свойство и Итерационные последовательности.

История

Первоначально уравнение в более общем виде было сообщено. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и допускает специальный анализ.

В случае линейной передаточной функции решение компактно выражается.

Особые случаи

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля с f = exp .

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например:

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,$

и так далее,

$\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.$

Решения

Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на $E$ тогда и только тогда, когда для всех $x\in E$ и все $n\in \mathbb {N}$, $f^{n}(x)\neq x$, где $f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f$, — функция n , повторяемая раз .

Аналитические решения (координаты Фату) можно аппроксимировать асимптотическим разложением функции, определяемой степенным рядом, в секторах вокруг параболической неподвижной точки . Аналитическое решение единственно с точностью до константы.

См. также

• Функциональное уравнение
  • Уравнение Шредера
  • Уравнение Бетчера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Оператор смены
• Суперфункция