Классификация компонентов Фату

В математике компоненты Фату являются компонентами множества Фату . Они были названы в честь Пьера Фату .

Рациональный случай

Если f — рациональная функция

$f={\frac {P(z)}{Q(z)}}$

определенное в расширенной комплексной плоскости , и если это нелинейная функция (степень > 1)

$d(f)=\max(\deg(P),\,\deg(Q))\geq 2,$

тогда для периодической составляющей $U$ множества Фату имеет место ровно одно из следующих:

1. $U$ содержит притягивающую периодическую точку
2. $U$ является параболическим
3. $U$ представляет собой диск Зигеля : односвязный компонент Фату, на котором f ( z ) аналитически сопряжен с евклидовым вращением единичного диска на себя на иррациональный угол поворота.
4. $U$ представляет собой кольцо Германа : двусвязный компонент Фату ( кольцо ), на котором f ( z ) аналитически сопряжено с евклидовым вращением круглого кольца, опять же на иррациональный угол поворота.

• 
  Набор Julia (белый) и комплект Fatou (темно-красный/зеленый/синий) для $f:z\mapsto z-{\frac {g}{g'}}(z)$ с $g:z\mapsto z^{3}-1$ в комплексной плоскости.
• 
  Набор Джулии с параболическим циклом
• 
  Набор Julia с диском Siegel (эллиптический корпус)
• 
  Юля в комплекте с кольцом Herman

Привлечение периодической точки

Компоненты карты $f(z)=z-(z^{3}-1)/3z^{2}$ содержат точки притяжения, являющиеся решениями задачи $z^{3}=1$. Это связано с тем, что карту можно использовать для поиска решений уравнения $z^{3}=1$ по формуле Ньютона–Рафсона . Решения, естественно, должны притягивать фиксированные точки.

• 
  Динамическая плоскость состоит из 2 бассейнов сверхпритяжения периода 1 Фату, каждый из которых имеет только один компонент.
• 
  Кривые уровня и лучи в суперпривлекательном случае
• 
  Множество Юлии с циклами суперпритяжения (гиперболическими) внутри (период 2) и снаружи (период 1)

Герман кольцо

Карта

$f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)$

и t = 0,6151732... создаст кольцо Германа. показывает Шишикура , что степень такого отображения должна быть не ниже 3, как в этом примере.

Более одного типа компонента

Если степень d больше 2, то существует более одной критической точки и тогда может быть более одного типа компонента.

• 
  Герман+Параболик
• 
  Период 3 и 105
• 
  притягивающая и параболическая
• 
  период 1 и период 1
• 
  период 4 и 4 (2 притягивающих бассейна)
• 
  два бассейна периода 2

Трансцендентный случай

Домен Бейкера

В случае трансцендентных функций существует другой тип периодических компонентов Фату, называемый областью Бейкера : это « области , в которых итерации стремятся к существенной сингулярности (невозможно для полиномов и рациональных функций)». один из примеров такой функции: $$f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}$$

Блуждающий домен

Трансцендентальные карты могут иметь блуждающие области : это компоненты Фату, которые в конечном итоге не являются периодическими.

См. также

• Теорема о неблуждающей области
• Теорема Монтеля
• Джон Доменс
• Бассейны притяжения

Ссылки

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика , Springer, 1993.
• Алан Ф. Бирдон Итерация рациональных функций , Springer 1991.