Теорема о неблуждающей области

В математике теорема о неблуждающей области — это результат о динамических системах , доказанный Деннисом Салливаном в 1985 году.

Теорема утверждает, что рациональное отображение f : Ĉ → Ĉ с deg( f ) ≥ 2 не имеет области блуждающей области , где Ĉ обозначает сферу Римана . Точнее, для каждого компонента U в множестве Фату функции f последовательность

$U,f(U),f(f(U)),\dots ,f^{n}(U),\dots$

со временем станет периодическим. Здесь, ф  ^н обозначает n -кратную итерацию f , то есть

$f^{n}=\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n}.$

Это изображение иллюстрирует динамику $f(z)=z+2\pi \sin(z)$; набор Фату (полностью состоящий из блуждающих доменов) показан белым, а набор Джулии показан серыми тонами.

Теорема не справедлива для произвольных отображений; например, трансцендентальная карта $f(z)=z+2\pi \sin(z)$ имеет блуждающие домены. Однако результат можно обобщить на многие ситуации, когда функции естественным образом принадлежат конечномерному пространству параметров, особенно на трансцендентные целые и мероморфные функции с конечным числом сингулярных значений.

Ссылки

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag , Нью-Йорк, 1993, ISBN   0-387-97942-5 МР 1230383
• Деннис Салливан, Квазиконформные гомеоморфизмы и динамика. I. Решение проблемы Фату-Жюлиа о блуждающих областях , Анналы математики 122 (1985), вып. 3, 401–18. МИСТЕР 0819553
• С. Закери, доказательство Салливаном гипотезы Фату о не блуждающей области