Трансцендентальная функция

В математике трансцендентная функция — это аналитическая функция , не удовлетворяющая полиномиальному уравнению, в отличие от алгебраической функции . ^[1]^[2] Другими словами, трансцендентная функция « трансцендирует » алгебру в том смысле, что ее нельзя выразить алгебраически с использованием конечного числа членов.

Примеры трансцендентных функций включают показательную функцию , логарифм и тригонометрические функции .

Определение

Формально аналитическая функция $f (z)$ одной действительной или комплексной переменной $z$ является трансцендентной , если она алгебраически независима от этой переменной. ^[3] Это можно распространить на функции нескольких переменных .

История

Трансцендентные функции синус и косинус были сведены в таблицы на основе физических измерений в древности, о чем свидетельствует Греция ( Гиппарх ) и Индия ( джья и коти-джья ). Описывая таблицу аккордов Птолемея , эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал:

Математическое понятие непрерывности как явное понятие неизвестно Птолемею. То, что он фактически рассматривает эти функции как непрерывные, следует из его невысказанного предположения, что можно определить значение зависимой переменной, соответствующее любому значению независимой переменной, с помощью простого процесса линейной интерполяции . ^[4]

Революционное понимание этих круговых функций произошло в 17 веке и было объяснено Леонардом Эйлером в 1748 году в его «Введении в анализ бесконечного» . Эти древние трансцендентные функции стали известны как непрерывные функции благодаря квадратуре прямоугольной гиперболы $xy = 1$ Грегуара де Сен-Винсента в 1647 году, через два тысячелетия после того, как Архимед создал «Квадратуру параболы» .

Было показано, что площадь под гиперболой обладает масштабирующим свойством постоянной площади при постоянном отношении границ. Описанная таким образом функция гиперболического логарифма имела ограниченное применение до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал ее с функциями, в которых константа возводится в переменную степень, например, с экспоненциальной функцией, константы в которой основание равно e . Введя эти трансцендентные функции и отметив свойство биекции , которое влечет за собой обратную функцию , были предоставлены некоторые возможности для алгебраических манипуляций с натуральным логарифмом, даже если он не является алгебраической функцией.

Показательная функция записывается $\exp(x)=e^{x}$ . Эйлер отождествил его с бесконечным рядом ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ , где $к!$ обозначает факториал числа $k$ .

Четные и нечетные члены этого ряда дают суммы, обозначающие $cosh(x)$ и $sinh(x)$ , так что $e^{x}=\cosh x+\sinh x.$ Эти трансцендентные гиперболические функции можно преобразовать в круговые функции синус и косинус, введя $(-1) к$ в ряд, в результате чего ряды чередуются . После Эйлера математики рассматривают синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с логарифмом и показательной функцией, часто с помощью формулы Эйлера в комплексных чисел арифметике .

Примеры

Пусть c — положительная константа. Следующие функции являются трансцендентными:

${\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}$

Для второй функции $f_{2}(x)$ , если мы установим $c$ равный $e$ , основание натурального логарифма , то получим, что $e^{x}$ является трансцендентной функцией. Аналогично, если мы установим $c$ равный $e$ в $f_{5}(x)$ , тогда мы получим это $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ (то есть натуральный логарифм ) является трансцендентной функцией.

Алгебраические и трансцендентные функции

Наиболее знакомыми трансцендентными функциями являются логарифм , экспонента (с любым нетривиальным основанием), тригонометрические и гиперболические функции , а также обратные всем им. Менее известны специальные функции анализа , , такие как гамма- , эллиптическая и дзета-функции которые все являются трансцендентными. Обобщенные гипергеометрические функции и функции Бесселя в общем случае трансцендентны, но алгебраичны для некоторых специальных значений параметров.

Функция, не являющаяся трансцендентной, является алгебраической . Простыми примерами алгебраических функций являются рациональные функции и функция квадратного корня , но в целом алгебраические функции не могут быть определены как конечные формулы элементарных функций. ^[5]

Неопределенный интеграл многих алгебраических функций трансцендентен. Например, функция логарифма возникла из обратной функции при попытке найти площадь гиперболического сектора .

Дифференциальная алгебра исследует, как при интегрировании часто создаются функции, алгебраически независимые от некоторого класса, например, когда в качестве переменных берутся полиномы с тригонометрическими функциями.

Трансцендентно-трансцендентные функции

Большинство известных трансцендентных функций, включая специальные функции математической физики, являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений . Те, которые не являются такими, как гамма- и дзета -функции, называются трансцендентно-трансцендентными или гипертрансцендентными функциями. ^[6]

Исключительный набор

Если $f$ — алгебраическая функция и $\alpha$ является алгебраическим числом , то $f (α)$ также является алгебраическим числом. Обратное неверно: существуют целые трансцендентные функции $f$ такие, что $f (α)$ — алгебраическое число для любого алгебраического $α$ . ^[7] Для данной трансцендентной функции множество алгебраических чисел, дающих алгебраические результаты, называется исключительным множеством этой функции. ^[8]^[9] Формально это определяется:

${\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.$

Во многих случаях исключительный набор довольно мал. Например, ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ это было доказано Линдеманном в 1882 году. В частности, $exp(1) = e$ трансцендентно. Кроме того, поскольку $exp(iπ) = -1$ является алгебраическим, мы знаем, что $iπ$ не может быть алгебраическим. Поскольку $i$ алгебраическое число, это означает, что $π$ — трансцендентное число .

В общем, нахождение исключительного множества функции — сложная задача, но если его можно вычислить, то это часто может привести к результатам в трансцендентной теории чисел . Вот еще несколько известных исключительных наборов:

Клейна j -инвариант ${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},$ где ⁠ ${\mathcal {H}}$ ⁠ — верхняя полуплоскость , ⁠ $[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]$ ⁠ — степень числового поля ⁠ $\mathbb {Q} (\alpha ).$ ⁠ Этот результат принадлежит Теодору Шнайдеру . ^[10]
Показательная функция по основанию 2: ${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,$ Этот результат является следствием теоремы Гельфонда–Шнайдера , которая утверждает, что если $\alpha \neq 0,1$ является алгебраическим, и $\beta$ алгебраична и иррациональна, то $\alpha ^{\beta }$ является трансцендентальным. Таким образом, функция $2 х$ можно заменить на $c х$ для любого алгебраического $c,$ не равного 0 или 1. Действительно, имеем: ${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.$
Следствием гипотезы Шануэля в теории трансцендентных чисел было бы то, что ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .$
Функция с пустым исключительным множеством, не требующая предположения гипотезы Шануэля, равна $f(x)=\exp(1+\pi x).$

Хотя вычислить исключительный набор для данной функции непросто, известно, что для любого подмножества алгебраических чисел, скажем, $A$ , существует трансцендентная функция, исключительным набором которой является $A$ . ^[11] Подмножество не обязательно должно быть собственным, а это означает, что $A$ может быть набором алгебраических чисел. Это напрямую подразумевает, что существуют трансцендентные функции, которые производят трансцендентные числа только тогда, когда заданы трансцендентные числа. Алекс Уилки также доказал, что существуют трансцендентные функции, для которых не существуют логические доказательства их трансцендентности первого порядка, предоставив примерную аналитическую функцию . ^[12]

Размерный анализ

В анализе размерностей трансцендентные функции примечательны тем, что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраической редукции). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко распознаваемым источником размерных ошибок. Например, $log(5 метров)$ — бессмысленное выражение, в отличие от $log(5 метров / 3 метра)$ или $log(3) метров$ . Можно попытаться применить логарифмическое тождество, чтобы получить $log(5) + log(meters)$ , что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению приводит к бессмысленным результатам.

См. также

Ссылки

^ Таунсенд, Э.Дж. (1915). Функции комплексной переменной . Х. Холт. п. 300. OCLC 608083625 .
^ Хазевинкель, Мишель (1993). Энциклопедия математики . Том. 9. стр. 236 .
^ Вальдшмидт, М. (2000). Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах . Спрингер. ISBN 978-3-662-11569-5 .
^ Педерсен, Олаф (1974). Обзор Альмагеста Издательство Оденсе Университета . п. 84. ИСБН 87-7492-087-1 .
^ см . Теорема Абеля – Руффини.
^ Рубель, Ли А. (ноябрь 1989 г.). «Обзор трансцендентно-трансцендентальных функций». Американский математический ежемесячник . 96 (9): 777–788. дои : 10.1080/00029890.1989.11972282 . JSTOR 2324840 .
^ ван дер Портен, Эй Джей (1968). «Трансцендентные целые функции, отображающие каждое поле алгебраических чисел в себя» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . 8 (2): 192–8. дои : 10.1017/S144678870000522X . S2CID 121788380 .
^ Маркес, Д.; Лима, ФМС (2010). «Некоторые трансцендентные функции, которые дают трансцендентные значения для каждой алгебраической записи». arXiv : 1004.1668v1 [ math.NT ].
^ Арчинард, Н. (2003). «Исключительные множества гипергеометрических рядов». Журнал теории чисел . 101 (2): 244–269. дои : 10.1016/S0022-314X(03)00042-8 .
^ Шнайдер, Т. (1937). «Арифметические исследования эллиптических интегралов». Математика . 113 : 1–13. дои : 10.1007/BF01571618 . S2CID 121073687 .
^ Вальдшмидт, М. (2009). «Вспомогательные функции в трансцендентной теории чисел». Журнал Рамануджана . 20 (3): 341–373. arXiv : 0908.4024 . дои : 10.1007/s11139-009-9204-y . S2CID 122797406 .
^ Уилки, Эй Джей (1998). «Алгебраически консервативная трансцендентная функция». Препринты Парижа VII . 66.

Внешние ссылки

Определение «Трансцендентной функции» в математической энциклопедии.

[1] Таунсенд, Э.Дж. (1915). Функции комплексной переменной . Х. Холт. п. 300. OCLC 608083625 .

[2] Хазевинкель, Мишель (1993). Энциклопедия математики . Том. 9. стр. 236 .

[3] Вальдшмидт, М. (2000). Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах . Спрингер. ISBN 978-3-662-11569-5 .

[4] Педерсен, Олаф (1974). Обзор Альмагеста Издательство Оденсе Университета . п. 84. ИСБН 87-7492-087-1 .

[5] см . Теорема Абеля – Руффини.

[6] Рубель, Ли А. (ноябрь 1989 г.). «Обзор трансцендентно-трансцендентальных функций». Американский математический ежемесячник . 96 (9): 777–788. дои : 10.1080/00029890.1989.11972282 . JSTOR 2324840 .

[7] ван дер Портен, Эй Джей (1968). «Трансцендентные целые функции, отображающие каждое поле алгебраических чисел в себя» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . 8 (2): 192–8. дои : 10.1017/S144678870000522X . S2CID 121788380 .

[8] Маркес, Д.; Лима, ФМС (2010). «Некоторые трансцендентные функции, которые дают трансцендентные значения для каждой алгебраической записи». arXiv : 1004.1668v1 [ math.NT ].

[9] Арчинард, Н. (2003). «Исключительные множества гипергеометрических рядов». Журнал теории чисел . 101 (2): 244–269. дои : 10.1016/S0022-314X(03)00042-8 .

[10] Шнайдер, Т. (1937). «Арифметические исследования эллиптических интегралов». Математика . 113 : 1–13. дои : 10.1007/BF01571618 . S2CID 121073687 .

[11] Вальдшмидт, М. (2009). «Вспомогательные функции в трансцендентной теории чисел». Журнал Рамануджана . 20 (3): 341–373. arXiv : 0908.4024 . дои : 10.1007/s11139-009-9204-y . S2CID 122797406 .

[12] Уилки, Эй Джей (1998). «Алгебраически консервативная трансцендентная функция». Препринты Парижа VII . 66.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]