Список типов функций

В математике . функции можно идентифицировать по свойствам, которыми они обладают Эти свойства описывают поведение функций при определенных условиях. Парабола — это особый тип функции.

Относительно теории множеств

Эти свойства касаются домена , кодомена и образа функций.

• Инъективная функция : имеет отдельное значение для каждого отдельного входа. Также называется инъекцией или, иногда, функцией «один к одному». Другими словами, каждый элемент кодомена функции является образом не более чем одного элемента ее домена.
• Сюръективная функция : имеет прообраз для каждого элемента кодомена , то есть кодомен равен изображению. Также называется сюръекцией или функцией on .
• Биективная функция : является одновременно инъекцией и сюръекцией и, следовательно, обратима .
• Функция идентичности : отображает любой данный элемент сам на себя.
• Постоянная функция : имеет фиксированное значение независимо от ее ввода.
• Пустая функция : область определения которой равна пустому множеству .
• Функция набора : входные данные которой являются набором.
• Функция выбора, называемая также функцией выбора или униформизации : присваивает каждому набору один из его элементов.

Относительно оператора (cq группа или другая структура )

Эти свойства касаются того, как на функцию влияют арифметические операции над ее аргументом.

Ниже приведены специальные примеры гомоморфизма бинарной операции :

• Аддитивная функция : сохраняет операцию сложения: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ).
• Мультипликативная функция : сохраняет операцию умножения: f ( xy ) = f ( x ) f ( y ).

Относительно отрицания :

• Четная функция : симметрична относительно Y. оси Формально для каждого x : f ( x ) = f (− x ).
• Нечетная функция : симметрична относительно начала координат . Формально для каждого x : f (− x ) = − f ( x ).

Относительно бинарной операции и порядка :

• Субадитивная функция : для которой значение f ( x + y ) меньше или равно f ( x ) + f ( y ).
• Супераддитивная функция : для которой значение f ( x + y ) больше или равно f ( x ) + f ( y ).

Относительно топологии

• Непрерывная функция : в которой прообразы открытых множеств открыты.
• Нигде непрерывная функция: не является непрерывной ни в одной точке своей области определения; например, функция Дирихле .
• Гомеоморфизм : биективная функция, которая также непрерывна и обратная функция которой непрерывна.
• Функция открытия : отображает открытые множества в открытые множества.
• Закрытая функция : отображает закрытые множества в закрытые множества.
• Компактно поддерживаемая функция : исчезает вне компактного множества.
• Функция Càdlàg , называемая также функцией RCLL, функцией corlol и т. д.: непрерывная справа, с левыми пределами.
• Квазинепрерывная функция : грубо говоря, близка к f ( x ) для некоторых, но не для всех y вблизи x (довольно техническая).

Относительно топологии и порядка:

• Полунепрерывная функция : полунепрерывная верхняя или нижняя.
• Функция непрерывности вправо : нет скачка при приближении к предельной точке справа. Непрерывная слева функция: определяется аналогично.
• Локально ограниченная функция: ограничена вокруг каждой точки.

Относительно заказа

• Монотонная функция : не меняет порядок любой пары входных данных.
• Строгая монотонная функция : сохраняет заданный порядок.

Относительно действительных/комплексных/гиперкомплексных/ p -адических чисел

• Реальная функция : функция, область определения которой действительна .
• Комплексная функция : функция, область определения которой является комплексной .
• Голоморфная функция : комплексная функция комплексной переменной, дифференцируемая в каждой точке своей области определения.
• Мероморфная функция : комплекснозначная функция, голоморфная всюду, за исключением изолированных точек , где есть полюсы .
• Целая функция : голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость .
• Кватернионная функция : функция, область определения которой является кватернионной .
• Гиперкомплексная функция : функция, областью определения которой является гиперкомплекс (например, кватернионы, октонионы , седенионы , тригинтадуонионы и т. д.).
• p -адическая функция : функция, область определения которой является p -адической .
• Линейная функция ; также аффинная функция .
• Выпуклая функция : отрезок между любыми двумя точками графика лежит над графиком. Также вогнутая функция .
• Арифметическая функция : функция преобразования целых положительных чисел в комплексные числа.
• Аналитическая функция : Может быть определена локально сходящимся степенным рядом .
• Квазианалитическая функция : не аналитическая, но все же локально определяемая своими производными в точке.
• Дифференцируемая функция : Имеет производную .
• Непрерывно дифференцируемая функция : дифференцируемая, с непрерывной производной.
• Гладкая функция : имеет производные всех порядков.
• Функция Липшица , функция Гёльдера : нечто большее, чем равномерно непрерывная функция .
• Гармоническая функция : ее значение в центре шара равно среднему значению на поверхности шара (свойство среднего значения) . Также субгармоническая функция и супергармоническая функция .
• Элементарная функция : композиция арифметических операций, экспонент , логарифмов , констант и решений алгебраических уравнений .
• Специальные функции : неэлементарные функции, получившие в силу своей важности названия и обозначения.
• Тригонометрические функции : связывают углы треугольника с длинами его сторон.
• Нигде не дифференцируемая функция, называемая также функцией Вейерштрасса : непрерывна всюду, но не дифференцируема даже в одной точке.
• Быстрорастущая (или быстрорастущая) функция; в частности, функция Аккермана .
• Простая функция : функция с действительным знаком над подмножеством действительной линии, аналогичная ступенчатой ​​функции .

Относительно

• Измеримая функция : прообраз каждого измеримого множества измерим.
• Функция Бореля : прообраз каждого множества Бореля является множеством Бореля.
• Функция Бэра, называемая также измеримой функцией Бэра : получается из непрерывных функций путем трансфинитной итерации операции формирования поточечных пределов последовательностей функций.
• Сингулярная функция с нулевой производной : непрерывная, почти всюду , но непостоянная.

Относительно меры

• Интегрируемая функция : имеет интеграл (конечный).
• Квадратно-интегрируемая функция : квадрат ее абсолютного значения интегрируем.

Относительно измерения и топологии:

• Локально интегрируемая функция : интегрируемая вокруг каждой точки.

Способы определения функций/отношение к теории типов

• Полиномиальная функция : определяется путем вычисления полинома .
• Рациональная функция : соотношение двух полиномиальных функций. В частности, преобразование Мёбиуса называют также дробно-линейной функцией.
• Алгебраическая функция : определяется как корень полиномиального уравнения.
• Трансцендентная функция : аналитическая, но не алгебраическая. Также гипертрансцендентальная функция .
• Составная функция : формируется путем композиции двух функций f и g путем отображения x в f ( g ( x )).
• Обратная функция : объявляется путем «обратного действия» данной функции (например, арксинус является инверсией синуса ).
• Неявная функция : определяется неявно отношением между аргументом(ами) и значением.
• Кусочная функция : определяется разными выражениями на разных интервалах.
• Вычислимая функция : алгоритм может выполнять работу функции. Также полувычислимая функция ; примитивно-рекурсивная функция ; частично рекурсивная функция .

В общем, функции часто определяются путем указания имени зависимой переменной и способа расчета того, чему она должна соответствовать. С этой целью $\mapsto$ или церковь символ $\lambda$ часто используется. функции, Кроме того, иногда математики обозначают домен и кодомен записывая, например, $f:A\rightarrow B$. Эти понятия распространяются непосредственно на лямбда-исчисление и теорию типов соответственно.

Функции высшего порядка

Это функции, которые работают с функциями или производят другие функции; см. функцию высшего порядка .Примеры:

• Функциональная композиция .
• Интегральные и дифференциальные операторы .
• Преобразование Фурье .
• Fold и Map . Операции
• каррирование

с

Теория категорий — это раздел математики, который формализует понятие специальной функции с помощью стрелок или морфизмов . Категория — это алгебраический объект, который (абстрактно) состоит из класса объектов и для каждой пары объектов набора морфизмов . Частичная (эквивалентно зависимо типизированная ) бинарная операция, называемая композицией , предоставляется над морфизмами, каждый объект имеет один специальный морфизм от него к самому себе, называемый тождеством этого объекта, а композиция и тождества должны подчиняться определенным отношениям.

В так называемой конкретной категории объекты связаны с математическими структурами, такими как множества , магмы , группы , кольца , топологические пространства , векторные пространства , метрические пространства , частичные порядки , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и т. д., а также морфизмы между двумя объектами. связаны функции, сохраняющие структуру между ними . В приведенных выше примерах это будут функции магмы , гомоморфизмы , гомоморфизмы групп , гомоморфизмы колец , непрерывные функции , линейные преобразования (или матрицы ), метрические отображения , монотонные функции , дифференцируемые функции и равномерно непрерывные функции соответственно.

Одним из преимуществ теории категорий как алгебраической теории является возможность доказать многие общие результаты с минимумом предположений. Многие общие понятия математики (например , сюръективность , инъективность , свободный объект , базис , конечное представление , изоморфизм ) можно определить чисто в терминах теории категорий (ср. мономорфизм , эпиморфизм ).

Теория категорий была предложена в качестве основы математики наравне с теорией множеств и теорией типов (ср. Топос ).

Теория аллегорий обеспечивает обобщение, сравнимое с теорией категорий для отношений, а не функций.

Другие функции

• Симметричная функция : значение не зависит от порядка ее аргументов.

Более общие объекты по-прежнему называются функциями

• Обобщенная функция : широкое обобщение дельта-функции Дирака , способное описывать белый шум и т. д.
  • Дельта-функция Дирака : полезна для описания физических явлений, таких как точечные заряды.
• Многозначная функция : отношение один ко многим.
• Случайная функция : случайный элемент набора функций.

Относительно измерения домена и кодомена

• Скалярная функция
• Многомерная функция
• Векторнозначная функция

См. также

• Список математических функций
• Список типов наборов