Условие Гёльдера

В математике действительная или комплекснозначная функция f в d -мерном евклидовом пространстве удовлетворяет условию Гельдера или является непрерывной по Гельдеру , когда существуют вещественные константы C ≥ 0 , α > 0 , такие, что $$|f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }$$для всех x и y в области f . В более общем смысле условие можно сформулировать для функций между любыми двумя метрическими пространствами . Число $\alpha$ называется показателем условия Гёльдера. Функция на интервале, удовлетворяющая условию с α > 1, является постоянной (см. доказательство ниже). Если α = 1 , то функция удовлетворяет условию Липшица . Для любого α > 0 это условие означает, что функция равномерно непрерывна . Состояние названо в честь Отто Гёльдера .

Имеем следующую цепочку включений для функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале [ a , b ] вещественной прямой с a < b :

Непрерывно дифференцируемый ⊂ Липшицев непрерывный ⊂ $\alpha$-непрерывный по Гёльдеру ⊂ равномерно непрерывный ⊂ непрерывный ,

где 0 < α ≤ 1 .

Пространства Гельдера

Пространства Гельдера, состоящие из функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, являются основными в областях функционального анализа, связанных с решением уравнений в частных производных , и в динамических системах . Пространство Гельдера C ^{к , а} (Ω) , где Ω - открытое подмножество некоторого евклидова пространства и k ≥ 0 целое число, состоит из тех функций на Ω, которые имеют непрерывные производные до порядка k и такие, что k -ые частные производные непрерывны по Гельдеру с показателем α , где 0 < α ≤ 1 . Это локально выпуклое топологическое векторное пространство . Если коэффициент Гёльдера $$\left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|x-y\right\|^{\alpha }}},$$конечна, то функция f называется (равномерно) непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω . служит коэффициент Гёльдера В данном случае полунормой . Если коэффициент Гёльдера просто ограничен на компактных подмножествах Ω , то функция f называется локально непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω .

Если функция f и ее производные до порядка k ограничены на замыкании Ω, то пространство Гёльдера $C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})$ можно назначить норму $$\left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}$$где β колеблется по мультииндексам и $$\|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.$$

Эти полунормы и нормы часто обозначают просто $\left|f\right|_{0,\alpha }$ и $\left\|f\right\|_{k,\alpha }$ или также $\left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;$ и $\left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }$ чтобы подчеркнуть зависимость от области определения f . Если Ω открыта и ограничена, то $C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})$ является банаховым пространством по норме $\|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}$.

Компактное вложение пространств Гёльдера.

Пусть Ω — ограниченное подмножество некоторого евклидова пространства (или, в более общем смысле, любого вполне ограниченного метрического пространства) и пусть 0 < α < β ≤ 1 два показателя Гёльдера. Тогда существует очевидное отображение включения соответствующих пространств Гёльдера: $$C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),$$который является непрерывным, поскольку по определению норм Гёльдера имеем: $$\forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.$$

Более того, это включение компактно, т.е. ограниченные множества в норме ‖ · ‖ _0,β относительно компактны в норме ‖ · ‖ _0,α . Это прямое следствие теоремы Асколи-Арсела . Действительно, пусть ( un _{— ограниченная} ) последовательность в C ^{0, б} (Ом) . Благодаря теореме Асколи-Арсела мы можем без ограничения общности считать, что → _un u равномерно , а также можем предположить u = 0 . Затем $$\left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,$$потому что $${\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).$$

Примеры

• Если 0 < α ≤ β ≤ 1 , то все $C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})$ Непрерывными по Гельдеру функциями на ограниченном множестве Ω также являются $C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})$ Гёльдер непрерывен. Сюда также входит β = 1 , и поэтому все липшицевы непрерывные функции на ограниченном множестве также являются C ^{0, а} Гёльдер непрерывен.
• Функция f ( x ) = x ^б (с β ≤ 1 ), определенный на [0, 1], служит прототипным примером функции, которая является C ^{0, а} Гельдер-непрерывен при 0 < α ≤ β , но не при α > β . Далее, если мы определили f аналогично на $[0,\infty )$, это будет C ^{0, а} Гёльдерово непрерывно только при α = β .
• Если функция $f$ является $\alpha$– Гёльдер непрерывен на интервале и $\alpha >1,$ затем $f$ является постоянным.

показывать

Доказательство

Consider the case $x<y$ where $x,y\in \mathbb {R}$. Then $\left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|\leq C|x-y|^{\alpha -1}$, so the difference quotient converges to zero as $|x-y|\to 0$. Hence $f'$ exists and is zero everywhere. Mean-value theorem now implies $f$ is constant. Q.E.D.

Alternate idea: Fix $x<y$ and partition $[x,y]$ into $\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$ where $x_{k}=x+{\frac {k}{n}}(y-x)$. Then $|f(x)-f(y)|\leq |f(x_{0})-f(x_{1})|+|f(x_{1})-f(x_{2})|+\ldots +|f(x_{n-1})-f(x_{n})|\leq \sum _{i=1}^{n}C\left({\frac {|x-y|}{n}}\right)^{\alpha }=C|x-y|^{\alpha }n^{1-\alpha }\to 0$ as $n\to \infty$, due to $\alpha >1$. Thus $f(x)=f(y)$. Q.E.D.

• Существуют примеры равномерно непрерывных функций, которые не являются α -гельдеровскими ни при каком α . Например, функция, определенная на [0, 1/2] посредством f (0) = 0 и f ( x ) = 1/log( x ), в противном случае является непрерывной и, следовательно, равномерно непрерывной по теореме Гейне-Кантора . Однако оно не удовлетворяет условию Гёльдера любого порядка.
• Функция Вейерштрасса определяется следующим образом: $$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),$$ где $0<a<1,b$ целое число, $b\geq 2$ и $ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},$ является α -Гёльдеровым непрерывным с $$\alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.$$
• Функция Кантора непрерывна по Гельдеру для любого показателя степени. $\alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},$ и ни для кого большего. В первом случае неравенство определения справедливо с константой C := 2 .
• Кривые Пеано из [0, 1] на квадрат [0, 1] ² можно построить как 1/2–гельдеровскую. Можно доказать, что когда $\alpha >{\tfrac {1}{2}}$ образ $\alpha$- Непрерывная функция Гельдера от единичного интервала до квадрата не может заполнить квадрат.
• Образцы траекторий броуновского движения почти наверняка повсюду локально. $\alpha$-Хёльдер для каждого $\alpha <{\tfrac {1}{2}}$.
• Функции, локально интегрируемые и интегралы которых удовлетворяют соответствующему условию роста, также являются гельдеровскими. Например, если мы позволим $$u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy$$ и ты удовлетворяешь $$\int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },$$ тогда u непрерывна по Гёльдеру с показателем α .
• Функции, колебания которых затухают с фиксированной скоростью по отношению к расстоянию, являются непрерывными по Гёльдеру с показателем степени, определяемым скоростью затухания. Например, если $$w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u$$ для некоторой функции u ( x ) удовлетворяет $$w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)$$ для фиксированного λ при 0 < λ < 1 и всех достаточно малых значениях r тогда u непрерывна по Гёльдеру.
• Функции из пространства Соболева могут быть вложены в соответствующее пространство Гельдера с помощью неравенства Морри, если пространственная размерность меньше показателя степени пространства Соболева. Если быть точным, если $n<p\leq \infty$ тогда существует константа C , зависящая только от p и n , такая, что: $$\forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},$$ где $\gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.$ Таким образом, если u ∈ W ^{1, с} ( Р ^н ) , то u на самом деле является гельдеровским по показателю γ после возможного переопределения на множестве меры 0.

Характеристики

• Замкнутая аддитивная подгруппа бесконечномерного гильбертова пространства H , соединенная α –гёльдеровскими дугами с α > 1/2 , является линейным подпространством. существуют замкнутые аддитивные подгруппы В H , а не линейные подпространства, соединенные 1/2–непрерывными по Гельдеру дугами. Примером может служить аддитивная подгруппа L ² ( R , Z ) гильбертова пространства L ² ( Р , Р ) .
• Любая α –непрерывная по Гельдеру функция f в метрическом пространстве X допускает липшицеву аппроксимацию с помощью последовательности функций ( fk _и ) такой, что является _fk k - липшицевой $$\left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).$$ Обратно, любая такая последовательность ( f _k ) липшицевых функций сходится к α –гельдеровскому непрерывному равномерному пределу f .
• Любая α – функция Гельдера f на подмножестве X нормированного пространства E допускает равномерно непрерывное расширение на все пространство, которое является непрерывным по Гёльдеру с той же константой C и тем же показателем α . Самое большое такое расширение: $$f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.$$
• Образ какой-либо $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ при α –функции Гёльдера имеет размерность Хаусдорфа не более ${\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}$, где $\dim _{H}(U)$ - размерность Хаусдорфа $U$.
• Пространство $C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1$ не является разделимым.
• Вложение $C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1$ не плотный.
• Если $f(t)$ и $g(t)$ удовлетворить на гладкой L дуге $H(\mu )$ и $H(\nu )$ соответственно условиям, то функции $f(t)+g(t)$ и $f(t)g(t)$ удовлетворить $H(\alpha )$ условие на L , где $\alpha =\min\{\mu ,\nu \}$.

См. также

• р -вариация

Ссылки

• Лоуренс К. Эванс (1998). Уравнения в частных производных . Американское математическое общество, Провиденс. ISBN  0-8218-0772-2 .
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  3-540-41160-7 . .
• Хан, Цин; Линь, Фанхуа (1997). Эллиптические уравнения в частных производных . Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта . ISBN  0-9658703-0-8 . OCLC  38168365 . MR 1669352