р -вариация

В математическом анализе p - вариация представляет собой совокупность полунорм функций от упорядоченного множества до метрического пространства , индексированных действительным числом. $p\geq 1$. p -вариация является мерой регулярности или гладкости функции. В частности, если $f:I\to (M,d)$, где $(M,d)$ — метрическое пространство, а I — полностью упорядоченное множество, его p -вариация равна

$\|f\|_{p{\text{-var}}}=\left(\sup _{D}\sum _{t_{k}\in D}d(f(t_{k}),f(t_{k-1}))^{p}\right)^{1/p}$

где D пробегает все конечные интервала I. разбиения

Изменение p функции уменьшается с ростом p . Если f имеет конечную p -вариацию и g является α -гельдеровской функцией, то $g\circ f$ имеет конечное значение ${\frac {p}{\alpha }}$-вариация.

Случай, когда p равен единице, называется полной вариацией , а функции с конечной 1-вариацией называются функциями ограниченной вариации .

Связь с нормой Гельдера

Можно интерпретировать p -вариацию как независимую от параметра версию нормы Гёльдера, которая также распространяется на разрывные функции.

Если f является α - гельдеровской непрерывной (т.е. ее α-гельдеровская норма конечна), то ее ${\frac {1}{\alpha }}$-вариация конечна. В частности, на интервале [ a , b ] $\|f\|_{{\frac {1}{\alpha }}{\text{-var}}}\leq \|f\|_{\alpha }(b-a)^{\alpha }$.

И наоборот, если f непрерывна и имеет конечную p- вариацию, существует перепараметризация, $\tau$, такой, что $f\circ \tau$ является $1/p-$Гёльдер непрерывен.

Если p меньше q , то пространство функций конечной p -вариации на компакте непрерывно вкладывается с нормой 1 в функции конечной q -вариации. Т.е. $\|f\|_{q{\text{-var}}}\leq \|f\|_{p{\text{-var}}}$. Однако в отличие от аналогичной ситуации с пространствами Гёльдера вложение не компактно. Например, рассмотрим действительные функции на [0,1], заданные формулой $f_{n}(x)=x^{n}$. Они равномерно ограничены в 1-вариации и сходятся поточечно к разрывной функции f, но это не только не является сходимостью в p -вариации для любого p , но и не является равномерной сходимостью.

Приложение к интегрированию Римана – Стилтьеса

Если f и g являются функциями от [ a , b ] до $\mathbb {R}$ без общих разрывов и с f, имеющим конечную p -вариацию, и g, имеющим конечную q -вариацию, с ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>1$ тогда интеграл Римана – Стилтьеса

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=\lim _{|D|\to 0}\sum _{t_{k}\in D}f(t_{k})[g(t_{k+1})-g({t_{k}})]$

четко определен. Этот интеграл известен как интеграл Юнга, поскольку он взят из работы Янга (1936) . Значение этого определенного интеграла ограничено оценкой Янга-Лоэва следующим образом:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)-f(\xi )[g(b)-g(a)]\right|\leq C\,\|f\|_{p{\text{-var}}}\|\,g\|_{q{\text{-var}}}$

где C — константа, которая зависит только от p и q, а ξ — любое число между a и b . Если f и g непрерывны, неопределенный интеграл $F(w)=\int _{a}^{w}f(x)\,dg(x)$ — непрерывная функция с конечной q -вариацией: если a ≤ s ≤ t ≤ b , то $\|F\|_{q{\text{-var}};[s,t]}$, его q -вариация на [ s , t ] ограничена $C\|g\|_{q{\text{-var}};[s,t]}(\|f\|_{p{\text{-var}};[s,t]}+\|f\|_{\infty ;[s,t]})\leq 2C\|g\|_{q{\text{-var}};[s,t]}(\|f\|_{p{\text{-var}};[a,b]}+f(a))$ где C — константа, зависящая только от p и q .

Дифференциальные уравнения, управляемые сигналами конечной p -вариации, p < 2

Функция из $\mathbb {R} ^{d}$ e × d действительных матриц называется $\mathbb {R} ^{e}$-значная однозначная форма на $\mathbb {R} ^{d}$.

Если f — липшицева непрерывная $\mathbb {R} ^{e}$-значная однозначная форма на $\mathbb {R} ^{d}$, а X — непрерывная функция из интервала [ a , b ] до $\mathbb {R} ^{d}$ с конечной p -вариацией при p меньше 2, то интеграл от f на X , $\int _{a}^{b}f(X(t))\,dX(t)$, может быть вычислено, поскольку каждая компонента f ( X ( t )) будет путем конечной p -вариации, а интеграл представляет собой сумму конечного числа интегралов Юнга. Он дает решение уравнения $dY=f(X)\,dX$ по пути X. движется

Что еще более важно, если f является липшицевым непрерывным $\mathbb {R} ^{e}$-значная однозначная форма на $\mathbb {R} ^{e}$, а X — непрерывная функция из интервала [ a , b ] до $\mathbb {R} ^{d}$ с конечным p изменением при p меньше 2, то интегрирования Юнга достаточно, чтобы найти решение уравнения $dY=f(Y)\,dX$ по пути X. движется

Дифференциальные уравнения, управляемые сигналами конечной p -вариации, p ≥ 2

Теория неровных путей обобщает интегральные и дифференциальные уравнения Юнга и широко использует концепцию p -вариации.

Для броуновского движения

p -вариацию следует противопоставлять квадратичной вариации , которая используется в стохастическом анализе и переводит один случайный процесс в другой. В частности, определение квадратичной вариации немного похоже на определение p -вариации, когда p имеет значение 2. Квадратичная вариация определяется как предел по мере того, как разбиение становится все тоньше, тогда как p -вариация является супремумом по всем разбиениям. Таким образом, квадратичная вариация процесса может быть меньше, чем его 2-вариация. Если W _t — стандартное броуновское движение на [0, T ], то с вероятностью единица его p- вариация бесконечна при $p\leq 2$ и конечно в противном случае. Квадратичная вариация W равна $[W]_{T}=T$.

Вычисление p -вариации для дискретных временных рядов

Для дискретного временного ряда наблюдений X ₀ ,...,X _N несложно вычислить его p -вариацию со сложностью O ( N ² ). Вот пример кода C++, использующего динамическое программирование :

double p_var(const std::vector<double>& X, double p) {
	if (X.size() == 0)
		return 0.0;
	std::vector<double> cum_p_var(X.size(), 0.0);   // cumulative p-variation
	for (size_t n = 1; n < X.size(); n++) {
		for (size_t k = 0; k < n; k++) {
			cum_p_var[n] = std::max(cum_p_var[n], cum_p_var[k] + std::pow(std::abs(X[n] - X[k]), p));
		}
	}
	return std::pow(cum_p_var.back(), 1./p);
}

Существуют гораздо более эффективные, но и более сложные алгоритмы $\mathbb {R}$-ценные процессы и для процессов в произвольных метрических пространствах.

Ссылки

• Янг, LC (1936), «Неравенство типа Гельдера, связанное с интегрированием Стилтьеса», Acta Mathematica , 67 (1): 251–282, doi : 10.1007/bf02401743 .

Внешние ссылки

• Непрерывные пути с ограниченной p-вариацией Фабрис Бодуэн
• Об интеграле Юнга, усеченной вариации и неровных путях Рафал М. Лоховский