Функция Вейерштрасса

Не путать с эллиптической функцией Вейерштрасса ( $\wp$) или сигма-, дзета- или эта-функции Вейерштрасса .

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Как и некоторые другие фракталы , функция демонстрирует самоподобие : каждый масштаб (красный кружок) аналогичен глобальному графику.

В математике функция Вейерштрасса является примером действительной функции , которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема . Это пример фрактальной кривой . Назван в честь своего первооткрывателя Карла Вейерштрасса .

Функция Вейерштрасса исторически выполняла роль патологической функции, будучи первым опубликованным примером (1872 г.), специально придуманным для того, чтобы бросить вызов представлению о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема, за исключением набора изолированных точек. Демонстрация Вейерштрасса того, что непрерывность не подразумевает почти всюду дифференцируемость, перевернула математику, опровергнув несколько доказательств, опиравшихся на геометрическую интуицию и расплывчатые определения гладкости . Эти типы функций осуждались современниками: Анри Пуанкаре , как известно, назвал их «монстрами» и назвал работу Вейерштрасса «насилием над здравым смыслом», а Шарль Эрмит писал, что они были «прискорбным бедствием». Функции было трудно визуализировать до появления компьютеров в следующем столетии, и результаты не получили широкого признания до тех пор, пока практические приложения, такие как модели броуновского движения, не потребовали бесконечно зубчатых функций (ныне известных как фрактальные кривые).

Строительство

Анимация основана на увеличении значения b с 0,1 до 5.

В оригинальной статье Вейерштрасса функция была определена как ряд Фурье :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

где $0<a<1$, $b$ является положительным нечетным целым числом, и

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .$

Минимальное значение $b$ для которого существует $0<a<1$ такое, что эти ограничения удовлетворены, есть $b=7$. Эта конструкция, наряду с доказательством того, что функция не дифференцируема ни на каком интервале, была впервые представлена ​​Вейерштрассом в статье, представленной в Königliche Akademie der Wissenschaften 18 июля 1872 года.

Несмотря на то, что функция нигде не дифференцируема, она непрерывна: поскольку члены бесконечного ряда, который ее определяет, ограничены ± a ^н и это имеет конечную сумму при 0 < a < 1, сходимость суммы слагаемых равномерна по M-критерию Вейерштрасса с M _n = a ^н . Поскольку каждая частичная сумма непрерывна, по равномерной предельной теореме следует, что f непрерывна. Кроме того, поскольку каждая частичная сумма равномерно непрерывна , отсюда следует, что f также равномерно непрерывна.

Можно было бы ожидать, что непрерывная функция должна иметь производную или что множество точек, в которых она не дифференцируема, должно быть счетно бесконечным или конечным. Согласно Вейерштрассу в его статье, ранние математики, включая Гаусса, часто предполагали, что это правда. Возможно, это связано с тем, что трудно нарисовать или визуализировать непрерывную функцию, набор недифференцируемых точек которой отличается от счетного набора точек. Аналогичные результаты существуют для классов непрерывных функций с лучшим поведением, например, для функций Липшица , набор точек недифференцируемости которых должен быть нулевым множеством Лебега ( теорема Радемахера ). Когда мы пытаемся нарисовать общую непрерывную функцию, мы обычно рисуем график функции, которая является липшицевой или иным образом хорошо себя ведет.

Функция Вейерштрасса была одним из первых изученных фракталов , хотя этот термин использовался гораздо позже. Функция имеет детализацию на каждом уровне, поэтому увеличение фрагмента кривой не показывает, что она все ближе и ближе приближается к прямой линии. Скорее, между любыми двумя точками, независимо от того, насколько они близки, функция не будет монотонной.

Вычисление хаусдорфовой размерности D графика классической функции Вейерштрасса было открытой проблемой до 2018 года, при этом считалось, что D = $2+\log _{b}(a)<2$. То, что D строго меньше 2, следует из условий $a$ и $b$ сверху. Лишь спустя более 30 лет это было строго доказано.

Термин «функция Вейерштрасса» часто используется в реальном анализе для обозначения любой функции, свойства и конструкция которой аналогичны исходному примеру Вейерштрасса. Например, функцию косинуса можно заменить в бесконечном ряду кусочно-линейной функцией «зигзаг» . Г.Х. Харди показал, что функция приведенной конструкции нигде не дифференцируема в предположениях 0 < a < 1, ab ≥ 1.

Функция Римана

Функция Вейерштрасса основана на более ранней функции Римана, которая, как утверждалось, нигде не дифференцируема. Иногда эту функцию также называют функцией Вейерштрасса.

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}$

Хотя Бернхард Риман решительно утверждал, что эта функция нигде не дифференцируема, Риман не опубликовал никаких доказательств этого, а Вейерштрасс отметил, что он не нашел никаких доказательств ее существования ни в статьях Римана, ни в устных сообщениях его учеников.

В 1916 году Г.Х. Харди подтвердил, что функция не имеет конечной производной ни при каком значении $\pi x$ где x иррационален или рационален в форме либо ${\frac {2A}{4B+1}}$ или ${\frac {2A+1}{2B}}$, где A и B — целые числа. В 1969 году Джозеф Гервер обнаружил, что функция Римана имеет определенный дифференциал для каждого значения x , который можно выразить в виде ${\frac {2A+1}{2B+1}}\pi$ с целыми числами A и B или рациональными множителями числа pi с нечетными числителем и знаменателем. В этих точках функция имеет производную от $-{\frac {1}{2}}$. В 1971 г. Дж. Гервер показал, что функция не имеет конечного дифференциала при значениях x , который можно выразить в виде ${\frac {2A}{2B+1}}\pi$, завершая проблему дифференцируемости функции Римана.

Поскольку функция Римана дифференцируема только на нулевом множестве точек, она не дифференцируема почти нигде .

Преемственность Гёльдера

Функцию Вейерштрасса удобно записать эквивалентно в виде

$W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)$

для $\alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}$. Тогда W _α ( x ) является непрерывным по Гельдеру показателя α, то есть существует константа C такая, что

$|W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }$

для всех x и y . Более того, W ₁ непрерывен по Гёльдеру всех порядков α < 1 , но не непрерывен по Липшицу .

Плотность нигде не дифференцируемых функций

Оказывается, функция Вейерштрасса — далеко не единичный пример: она хотя и «патологична», но в то же время «типична» для непрерывных функций:

• В топологическом смысле: множество нигде не дифференцируемых вещественных функций на [0, 1] является комбинатором в векторном пространстве C ([0, 1]; R ) всех непрерывных вещественных функций на [0, 1] с топологией равномерной сходимости .
• В теоретико-мерном смысле: когда пространство C ([0, 1]; R ) снабжено классической мерой Винера γ , набор функций, дифференцируемых даже в одной точке из [0, 1], имеет γ - меру ноль . То же самое верно, даже если взять конечномерные «срезы» C ([0, 1]; R ) в том смысле, что нигде не дифференцируемые функции образуют преобладающее подмножество C ( [0, 1]; R ). .

См. также

• Кривая Бланманже
• Снежинка Коха
• Нигде непрерывная функция

Ссылки

• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность графика функции Вейерштрасса», Труды Международного центра геометрии , 11 (2), Академия наук Украины: 53 –68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Фалконер, К. (1984), Геометрия фрактальных множеств , Кембриджские трактаты по математике, том. Книга 85, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-33705-2
• Гельбаум, Б. Бернард Р.; Олмстед, Джон М.Х. (2003) [1964], Контрпримеры в анализе , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN  978-0-486-42875-8
• Харди, GH (1916), «Недифференцируемая функция Вейерштрасса» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 17 (3), American Mathematical Society: 301–325, doi : 10.2307/1989005 , JSTOR   1989005
• Вейерштрасс, Карл (18 июля 1872 г.), О непрерывных функциях вещественного аргумента, не имеющих определенного дифференциального фактора ни для какого значения последнего , Королевская прусская академия наук
  • Вейерштрасс, Карл (1895), «О непрерывных функциях вещественного аргумента, которые не имеют определенного дифференциального фактора для любого значения последнего» , Математические труды Карла Вейерштрасса , том. 2, Берлин, Германия: Майер и Мюллер, стр. 71–74.
  • Английский перевод: Эдгар, Джеральд А. (1993), «О непрерывных функциях реального аргумента, которые не имеют четко определенной производной для любого значения своего аргумента», Классика фракталов , Исследования нелинейности, Addison-Wesley Publishing Company, стр. 3–9, ISBN  978-0-201-58701-2

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса» . Математический мир . (другая функция Вейерштрасса, которая также непрерывна и нигде не дифференцируема)
• Нигде не дифференцируемая непрерывная функция, доказательство существования с использованием принципа сжатия Банаха .
• Нигде нет монотонной непрерывной функции, доказательство существования с помощью теоремы Бэра о категориях .
• Йохан Тим. «Непрерывные нигде не дифференцируемые функции» . Магистерская диссертация, Технологический университет Лулео, 2003 г. Проверено 28 июля 2006 г.
• Функция Вейерштрасса на комплексной плоскости Красивый фрактал.
• SpringerLink - Журнал анализа и приложений Фурье, том 16, номер 1 Простые доказательства дифференцируемости в никуда для функции Вейерштрасса и случаи медленного роста
• Функции Вейерштрасса: непрерывны, но нигде не дифференцируемы
• Функция Вейерштрасса Брента Нельсона из Беркли, показывающая недифференцируемость