Нулевой набор

Чтобы узнать о наборе без элементов, см. Пустой набор .

Информацию о наборе нулей функции см. в разделе «Набор нулей» .

Треугольник Серпинского является примером нулевого набора точек в $\mathbb {R} ^{2}$.

В математическом анализе нулевой набор — это измеримый по Лебегу набор действительных чисел, имеющий меру нулевую . Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть объединением счетным интервалов сколь угодно малой общей длины.

Понятие нулевого множества не следует путать с понятием пустого множества , как оно определено в теории множеств . Хотя пустое множество имеет нулевую меру Лебега , существуют также непустые множества, которые являются нулевыми. Например, любое непустое счетное множество действительных чисел имеет нулевую меру Лебега и, следовательно, является нулевым.

В более общем смысле, в заданном пространстве меры $M=(X,\Sigma ,\mu )$ нулевой набор - это набор $S\in \Sigma$ такой, что $\mu (S)=0.$

Примеры

Каждое конечное или счетное подмножество действительных чисел является нулевым множеством. Например, набор натуральных чисел и набор рациональных чисел счетно бесконечны и, следовательно, являются нулевыми множествами, если рассматривать их как подмножества действительных чисел.

Множество Кантора является примером несчетного нулевого множества.

Определение

Предполагать $A$ является подмножеством реальной линии $\mathbb {R}$ такой, что для каждого $\varepsilon >0,$ существует последовательность $U_{1},U_{2},\ldots$ открытых интервалов (где интервал $U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R}$ имеет длину $\operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}$) такой, что

$$A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,$$

затем $A$ представляет собой нулевое множество, также известный как набор с нулевым содержанием.

В терминологии математического анализа чтобы существовала последовательность крышек открытых это определение требует , $A$ для которого предел длин покрытий равен нулю.

Свойства

Позволять $(X,\Sigma ,\mu )$ быть мерой пространства . У нас есть:

• $\mu (\varnothing )=0$ ( определению по $\mu$).
• Любое счетное объединение нулевых множеств само по себе является нулевым множеством (в силу счетной субаддитивности $\mu$).
• Любое (измеримое) подмножество нулевого множества само по себе является нулевым множеством (в монотонности силу $\mu$).

В совокупности эти факты показывают, что нулевые множества $(X,\Sigma ,\mu )$ образуют 𝜎-идеал 𝜎 -алгебры $\Sigma$. Соответственно, нулевые множества можно интерпретировать как пренебрежимо малые множества , что дает теоретико-мерное понятие « почти везде ».

Мера Лебега

Мера Лебега — это стандартный способ присвоения длины , площади или объема подмножествам евклидова пространства .

Подмножество $N$ из $\mathbb {R}$ имеет нулевую меру Лебега и считается нулевым множеством в $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда:

Учитывая любое положительное число $\varepsilon ,$ есть последовательность ​ $I_{1},I_{2},\ldots$ интервалов ​ в $\mathbb {R}$ такой, что $N$ содержится в объединении $I_{1},I_{2},\ldots$ а общая длина объединения меньше $\varepsilon .$

Это условие можно обобщить на $\mathbb {R} ^{n},$ с использованием $n$- кубики вместо интервалов. Фактически, эту идею можно придать смысл на любом многообразии , даже если там нет меры Лебега.

Например:

• Что касается $\mathbb {R} ^{n},$ все одноэлементные множества равны нулю, и, следовательно, все счетные множества равны нулю. В частности, набор $\mathbb {Q}$ рациональных чисел является нулевым множеством, несмотря на то, что плотно оно $\mathbb {R} .$
• Стандартная конструкция множества Кантора является примером нулевого несчетного множества в $\mathbb {R} ;$ однако возможны и другие конструкции, которые приписывают Канторову установку какую-либо меру.
• Все подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ которого размерность меньше $n$ иметь нулевую меру Лебега в $\mathbb {R} ^{n}.$ Например, прямые линии или круги являются нулевыми множествами в $\mathbb {R} ^{2}.$
• Лемма Сарда : множество критических значений гладкой функции имеет нулевую меру.

Если $\lambda$ является мерой Лебега для $\mathbb {R}$ и π — мера Лебега для $\mathbb {R} ^{2}$, то мера произведения $\lambda \times \lambda =\pi .$ В терминах нулевых множеств следующая эквивалентность была названа теоремой Фубини :

• Для $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ и $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$
  $$\pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.$$

Использует

Нулевые множества играют ключевую роль в определении интеграла Лебега : если функции $f$ и $g$ равны, за исключением нулевого набора, тогда $f$ интегрируемо тогда и только тогда, когда $g$ есть, и их интегралы равны. Это мотивирует формальное определение $L^{p}$ пространства как множества классов эквивалентности функций, различающихся только на нулевых множествах.

Мера, в которой все подмножества нулевых множеств измеримы, является полной . Любую неполную меру можно дополнить, чтобы сформировать полную меру, утверждая, что подмножества нулевых множеств имеют нулевую меру. Мера Лебега является примером полной меры; в некоторых конструкциях оно определяется как пополнение неполной борелевской меры .

Подмножество множества Кантора, которое не

Мера Бореля не является полной. Одна простая конструкция — начать со стандартного множества Кантора. $K,$ которое замкнуто, следовательно, измеримо по Борелю и имеет нулевую меру, и найти подмножество $F$ из $K$ что не измеримо по Борелю. (Поскольку мера Лебега полная, это $F$ конечно, измерима по Лебегу.)

Во-первых, мы должны знать, что каждое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Позволять $f$ — функция Кантора , непрерывная функция, локально постоянная на $K^{c},$ и монотонно возрастает по $[0,1],$ с $f(0)=0$ и $f(1)=1.$ Очевидно, $f(K^{c})$ счетно, так как содержит по одной точке на каждую компоненту $K^{c}.$ Следовательно $f(K^{c})$ имеет нулевую меру, поэтому $f(K)$ имеет меру единицу. Нам нужна строго монотонная функция , поэтому рассмотрим $g(x)=f(x)+x.$ С $f(x)$ строго монотонно и непрерывно, это гомеоморфизм . Более того, $g(K)$ имеет меру единицу. Позволять $E\subseteq g(K)$ неизмерима, и пусть $F=g^{-1}(E).$ Потому что $g$ инъективен, у нас есть это $F\subseteq K,$ и так $F$ представляет собой нулевое множество. Однако если бы оно было измеримо по Борелю, то $f(F)$ также было бы измеримо по Борелю (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества, заданного непрерывной функцией, измерим; $g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)$ является прообразом $F$ через непрерывную функцию $h=g^{-1}.$) Поэтому, $F$ — нулевое, но неизмеримое по Борелю множество.

Ее ноль

В сепарабельном банаховом пространстве $(X,+),$ групповая операция перемещает любое подмножество $A\subseteq X$ для переводчиков $A+x$ для любого $x\in X.$ Когда существует вероятностная мера µ на ​​σ-алгебре подмножеств борелевских $X,$ такой, что для всех $x,$ $\mu (A+x)=0,$ затем $A$ является нулевым множеством Хаара .

Этот термин относится к нулевой инвариантности мер трансляций, связывая ее с полной инвариантностью, обнаруженной с помощью меры Хаара .

Некоторые алгебраические свойства топологических групп связаны с размером подмножеств и нулевыми множествами Хаара. Нулевые множества Хаара использовались в польских группах, чтобы показать, что, когда A не является скудным множеством , тогда $A^{-1}A$ содержит открытую окрестность единичного элемента . Это свойство названо в честь Хьюго Штейнгауза, поскольку оно является выводом теоремы Штейнгауза .

См. также

• Функция Кантора - непрерывная функция, которая не является абсолютно непрерывной.
• Пустое множество – математическое множество, не содержащее элементов.
• Мера (математика) - Обобщение массы, длины, площади и объема.
• Ничего – Полное отсутствие чего-либо; противоположность всему

Дальнейшее чтение

• Капински, Марек; Копп, Эккехард (2005). Мера, интеграл и вероятность . Спрингер. п. 16. ISBN  978-1-85233-781-0 .
• Джонс, Фрэнк (1993). Интегрирование Лебега в евклидовых пространствах . Джонс и Бартлетт. п. 107. ИСБН  978-0-86720-203-8 .
• Окстоби, Джон К. (1971). Мера и категория . Спрингер-Верлаг. п. 3. ISBN  978-0-387-05349-3 .