Теорема Штейнгауза

В математической области реального анализа теорема Штейнхауза утверждает, что разностное множество набора положительной меры содержит открытую окрестность нуля. Впервые это было доказано Гуго Штейнгаузом . ^[1]

Заявление [ править ]

Пусть A — такое множество, измеримое по Лебегу на прямой , что мера Лебега A вещественной не равна нулю. Тогда разность установится

A-A=\{a-b\mid a,b\in A\}

содержит открытую окрестность начала координат.

Общая версия теоремы, впервые доказанная Андре Вейлем , ^[2] утверждает, что если G — локально компактная группа и A ⊂ G — подмножество положительной (левой) меры Хаара , то

AA^{-1}=\{ab^{-1}\mid a,b\in A\}

содержит открытую окрестность единицы.

Теорему можно распространить и на немежные множества со свойством Бэра . Доказательство этих расширений, иногда называемое также теоремой Штейнгауза, почти идентично приведенному ниже.

Доказательство [ править ]

Следующее простое доказательство можно найти в сборнике задач покойного профессора Х. М. Мартиросяна из Ереванского государственного университета, Армения (на русском языке).

Давайте иметь в виду, что для любого $\varepsilon >0$ , существует открытое множество $\,{\cal {U}}$ , так что $A\subset {\cal {U}}$ и $\mu ({\cal {U}})<\mu (A)+\varepsilon$ . Как следствие, для данного $\alpha \in (1/2,1)$ , мы можем найти подходящий интервал $\Delta =(a,b)$ так что взяв только подходящую часть положительной меры множества $A$ мы можем предположить, что $A\subset \Delta$ , и это $\mu (A)>\alpha (b-a)$ .

Теперь предположим, что $|x|<\delta$ , где $\delta =(2\alpha -1)(b-a)$ . Покажем, что во множествах есть общие точки. $x+A$ и $A$ . В противном случае $2\mu (A)=\mu \{(x+A)\cup A\}\leq \mu \{(x+\Delta )\cup \Delta \}$ . Но поскольку $\delta <b-a$ , и

$\mu \{(x+\Delta )\cup \Delta \}=b-a+|x|<b-a+\delta$ ,

мы получим $2\mu (A)<b-a+\delta =2\alpha (b-a)$ , что противоречит исходному свойству множества. Следовательно, поскольку $(x+A)\cap A\neq \varnothing$ , когда $|x|<\delta$ , то сразу следует, что $\{x;|x|<\delta \}\subset A-A$ , что нам нужно было установить.

Следствие [ править ]

Следствием этой теоремы является то, что любая измеримая собственная подгруппа группы $(\mathbb {R} ,+)$ имеет меру нуль.

См. также [ править ]

Гипотеза Фальконера

Примечания [ править ]

^ Штайнхаус (1920) ; Вэт (2002)
^ Потому что (1940) с. 50

Ссылки [ править ]

Штайнхаус, Гюго (1920). «О расстояниях точек в множествах положительной меры» (PDF) . Фонд. Математика. (на французском языке). 1 :93–104. дои : 10.4064/fm-1-1-93-104 . .
Вейль, Андре (1940). Интегрирование в топологических группах и его приложения . Герман.
Стромберг, К. (1972). «Элементарное доказательство теоремы Штейнгауза». Труды Американского математического общества . 36 (1): 308. дои : 10.2307/2039082 . JSTOR 2039082 .
Садухан, Арпан (2020). «Альтернативное доказательство теоремы Штейнгауза». Американский математический ежемесячник . 127 (4): 330. arXiv : 1903.07139 . дои : 10.1080/00029890.2020.1711693 . S2CID 84845966 .

Вэт, Мартин (2002). Теория интеграции: второй курс . Всемирная научная. ISBN 981-238-115-5 .

[1] Штайнхаус (1920) ; Вэт (2002)

[2] Потому что (1940) с. 50

[1]

[2]