Гипотеза Фальконера

В меры геометрической теории гипотеза Фальконера , названная в честь Кеннета Фальконера , представляет собой нерешенную проблему, касающуюся множеств евклидовых расстояний между точками в компакте. $d$-мерные пространства. Интуитивно понятно, что набор точек, большой по размерности Хаусдорфа, должен определять набор расстояний , большой по мере . Точнее, если $S$ представляет собой компактный набор точек в $d$-мерное евклидово пространство , хаусдорфова размерность которого строго больше, чем $d/2$, то гипотеза утверждает, что набор расстояний между парами точек в $S$ должна иметь ненулевую меру Лебега .

Формулировка и мотивация

Фальконер (1985) доказал , что борелевские множества с хаусдорфовой размерностью больше, чем $(d+1)/2$ иметь наборы расстояний с ненулевой мерой. Он мотивировал этот результат как многомерное обобщение теоремы Штейнхауза , предыдущего результата Хьюго Штейнхауза, доказывающего, что каждый набор действительных чисел с ненулевой мерой должен иметь разностный набор , который содержит интервал вида $(-\varepsilon ,\varepsilon )$ для некоторых $\varepsilon >0$. Ее также можно рассматривать как непрерывный аналог проблемы различных расстояний Эрдёша , которая утверждает, что большие конечные множества точек должны иметь большое количество различных расстояний.

Частичные результаты

Эрдоган (2005) доказал, что компактные множества точек, размерность Хаусдорфа которых больше ${\tfrac {d}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ иметь наборы расстояний с ненулевой мерой; для больших значений $d$ это приближает порог размерности Хаусдорфа, заданный гипотезой Фальконера. Для точек евклидовой плоскости борелевские множества хаусдорфовой размерности больше 5/4 (или ${\tfrac {d}{2}}+{\tfrac {1}{4}}$ с $d=2$) имеют множества расстояний с ненулевой мерой и, более строго, имеют такую ​​точку, что мера Лебега расстояний от множества до этой точки положительна. Для $d>3$ самая известная граница - это ${\tfrac {d}{2}}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{8d+4}}$ по препринту Ду, Оу, Рена и Чжана

Вариант гипотезы Фальконера утверждает, что для точек на плоскости компактное множество, хаусдорфова размерность которого больше или равна единице, должно иметь множество расстояний с хаусдорфовой размерностью один. Это следует из результатов о мере для множеств хаусдорфовой размерности больше 5/4. Для компактного плоского множества с размерностью Хаусдорфа не менее одной размерность расстояния должна иметь размерность Хаусдорфа не менее 1/2.

Связанные предположения

Доказательство оценки размерности множества расстояний, строго превышающей 1/2, в случае компактных плоских множеств с хаусдорфовой размерностью не менее единицы было бы эквивалентно разрешению нескольких других нерешенных гипотез. К ним относятся гипотеза Пауля Эрдеша о существовании борелевских подколец действительных чисел с дробной хаусдорфовой размерностью и вариант проблемы множества Какеи о хаусдорфовой размерности множеств, такой, что для каждого возможного направления существует отрезок, пересечение с множеством имеет высокую хаусдорфову размерность. Эти гипотезы были решены Бургейном.

Другие функции расстояния

Для неевклидовых функций расстояния в плоскости, определяемой полигональными нормами, аналог гипотезы Фальконера неверен: существуют множества хаусдорфовой размерности два, множества расстояний которых имеют нулевую меру.