Установленное расстояние

В геометрии набор расстояний набора точек — это между различными набор расстояний парами точек. Таким образом, его можно рассматривать как обобщение разностного множества , набора расстояний (и их отрицаний) в наборах чисел.

Некоторые проблемы и результаты в геометрии касаются наборов расстояний, обычно основанных на том принципе, что большой набор точек должен иметь большой набор расстояний (для различных определений слова «большой»):

• Гипотеза Фальконера — это утверждение, что для набора точек в $d$-мерное пространство, размерность которого по Хаусдорфу больше, чем $d/2$соответствующее множество расстояний имеет ненулевую меру Лебега . Хотя частичные результаты известны, гипотеза остается недоказанной.
• Проблема Эрдеша -Улама спрашивает, возможно ли иметь плотное множество на евклидовой плоскости , набор расстояний которого состоит только из рациональных чисел . Опять же, она остается нерешенной.
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов характеризует числа в наборе расстояний двумерной целочисленной решетки : они представляют собой квадратные корни целых чисел, простая факторизация которых не содержит нечетного числа копий любого простого числа, конгруэнтного 3 по модулю 4. Аналогично характеризует Теорема о трех квадратах Лежандра набор расстояний трехмерной целочисленной решетки, а теорема о четырех квадратах Лагранжа характеризует набор расстояний целочисленных решеток в четырех и более высоких измерениях как квадратные корни целых чисел без каких-либо дополнительных ограничений. В решетках пяти и более измерений каждое подмножество решетки с ненулевой верхней плотностью имеет набор расстояний, содержащий квадраты бесконечной арифметической прогрессии .
• Согласно теореме Эрдеша-Эннинга , каждое бесконечное множество точек евклидовой плоскости, не лежащее на одной прямой, имеет нецелое число в своем множестве расстояний.
• Квадратные сетки точек имеют наборы расстояний сублинейного размера, в отличие от точек общего положения, набор расстояний которых имеет квадратичный размер. Однако, согласно решению различных расстояний Эрдеша проблемы Ларри Гутом и Нетсом Кацем в 2015 году , набор расстояний любого конечного набора точек на евклидовой плоскости лишь слегка сублинейен, почти такой же большой, как и данный набор. В частности, только конечный набор точек может иметь конечное множество расстояний.
• Линейка Голомба — это конечное множество точек на прямой, в котором никакие две пары точек не находятся на одинаковом расстоянии. Софи Пиккар утверждала, что никакие две линейки Голомба не имеют одинаковых наборов расстояний. Утверждение неверно, но есть только один контрпример — пара шеститочечных линеек Голомба с общим набором расстояний.
• Равносторонняя размерность метрического пространства — это наибольший размер набора точек, набор расстояний которых состоит только из одного элемента. Гипотеза Куснера утверждает, что равностороннее измерение $d$-мерное пространство с манхэттенским расстоянием в точности $2d$, но это остается недоказанным.
• Набор 2-х расстояний — это набор точек, для которых набор различных взаимных расстояний имеет мощность ровно 2. Примером набора 2-х расстояний является набор вершин правильного октаэдра . Существуют различные результаты о множествах с двумя расстояниями, включая классификацию всех наборов с двумя расстояниями в размерности 4. Каждый набор с двумя расстояниями является равнобедренным набором , набором, в котором все треугольники равнобедренные. Как частичное обратное, каждое равнобедренное множество, которое не может быть разложено на два перпендикулярных подпространства, является набором с двумя расстояниями.

Наборы расстояний также использовались в качестве дескриптора формы в компьютерном зрении .

См. также

• Матрица расстояний