Теорема Лежандра о трёх квадратах

В математике . теорема Лежандра о трёх квадратах утверждает, что натуральное число можно представить как сумму трёх квадратов целых чисел

$n=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

тогда и только тогда, когда n не имеет вида $n=4^{a}(8b+7)$ для неотрицательных целых чисел a и b .

Расстояния между вершинами двойного единичного куба представляют собой квадратные корни из первых шести натуральных чисел согласно теореме Пифагора (√7 невозможно из-за теоремы Лежандра о трех квадратах).

Первые числа, которые нельзя выразить в виде суммы трех квадратов (т.е. числа, которые можно выразить как $n=4^{a}(8b+7)$) являются

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71... (последовательность A004215 в OEIS ).

а б	0	1	2
0	7	28	112
1	15	60	240
2	23	92	368
3	31	124	496
4	39	156	624
5	47	188	752
6	55	220	880
7	63	252	1008
8	71	284	1136
9	79	316	1264
10	87	348	1392
11	95	380	1520
12	103	412	1648
Невыразимые ценности до 100 выделено жирным шрифтом

История

Пьер де Ферма дал критерий того, что числа вида 8 a + 1 и 8 a + 3 являются суммами квадрата плюс удвоенный еще один квадрат, но не привел доказательства. Н. Бегелен заметил в 1774 г. что каждое положительное целое число, которое не имеет ни формы 8 n + 7, ни формы 4 n , представляет собой сумму трех квадратов, но не предоставило удовлетворительного доказательства. В 1796 году Гаусс доказал свою теорему Эврики о том, что каждое положительное целое число n является суммой трех треугольных чисел ; это равносильно тому, что 8 n + 3 есть сумма трёх квадратов. В 1797 или 1798 году А.-М. Лежандр получил первое доказательство своей теоремы о трёх квадратах. В 1813 году А. Л. Коши отметил что теорема Лежандра эквивалентна утверждению во введении выше. Ранее, в 1801 г., К. Ф. Гаусс получил более общий результат: содержащий в качестве следствия теорему Лежандра 1797–1798 гг. В частности, Гаусс подсчитал число решений выражения целого числа как суммы трёх квадратов, и это является обобщением ещё одного результата Лежандра: доказательство которого неполно. Этот последний факт, по-видимому, является причиной более поздних неверных утверждений, согласно которым доказательство Лежандра теоремы трех квадратов было ошибочным и должно было быть завершено Гауссом.

С помощью теоремы Лагранжа о четырех квадратах и двух квадратах ​​теоремы Жирара, Ферма и Эйлера о проблема Варинга для k = 2 полностью решена.

Доказательства

«Единственное если» в теореме просто потому, что по модулю 8 каждый квадрат равен 0, 1 или 4. Существует несколько доказательств обратного (помимо доказательства Лежандра). Один из них принадлежит JPGL Дирихле в 1850 году и стал классическим. Для этого необходимы три основные леммы:

• квадратичный закон взаимности ,
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях и
• класс эквивалентности тривиальной троичной квадратичной формы .

Связь с теоремой четырех квадратов

Эту теорему можно использовать для доказательства теоремы Лагранжа о четырех квадратах , которая утверждает, что все натуральные числа можно записать в виде суммы четырех квадратов. Гаусс отметил, что теорема о четырех квадратах легко следует из того факта, что любое положительное целое число, равное 1 или 2 по модулю 4, представляет собой сумму трех квадратов, поскольку любое положительное целое число, не делящееся на 4, можно привести к этой форме, вычитая 0 или 1 из это. Однако доказательство теоремы трех квадратов значительно сложнее, чем прямое доказательство теоремы четырех квадратов, не использующее теорему трех квадратов. Действительно, теорема четырех квадратов была доказана раньше, в 1770 году.

См. также

• Теорема Ферма о двух квадратах
• Теорема о сумме двух квадратов
• Уравнение Лежандра