Теорема Ферма о многоугольных числах

В аддитивной теории чисел теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что каждое положительное целое число является суммой не более $n$ $n$ -угольных чисел . То есть каждое положительное целое число можно записать как сумму трех или менее треугольных чисел , как сумму четырех или менее квадратных чисел , как сумму пяти или менее пятиугольных чисел и так далее. То есть $n$ -угольные числа образуют аддитивный базис порядка $n$ .

Примеры

Например, три таких изображения числа 17 показаны ниже:

17 = 10 + 6 + 1 ( треугольные числа )
17 = 16 + 1 ( квадратные числа )
17 = 12 + 5 ( пятиугольные числа ).

История

Дневниковая запись Гаусса о сумме треугольных чисел (1796 г.)

Теорема названа в честь Пьера де Ферма , который сформулировал ее в 1638 году без доказательства, пообещав написать ее в отдельной работе, так и не вышедшей. ^{[ 1 ]} Жозеф Луи Лагранж доказал случай квадратов в 1770 году, который утверждает, что каждое положительное число можно представить в виде суммы четырех квадратов, например, 7 = 4 + 1 + 1 + 1 . ^{[ 1 ]} Гаусс доказал треугольный случай в 1796 году, отметив это событие записью в своем дневнике строки « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ », ^{[ 2 ]} и опубликовал доказательство в своей книге Disquisitiones Arithmeticae . По этой причине результат Гаусса иногда называют теоремой Эврики . ^{[ 3 ]} Теорема о полном многоугольном числе не была решена до тех пор, пока она не была окончательно доказана Коши в 1813 году. ^{[ 1 ]} Доказательство Натансона (1987) основано на следующей лемме Коши:

Для нечетных натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $b 2 < 4 а$ и $3 а < б 2 + 2 b + 4$ мы можем найти неотрицательные целые числа $s$ , $t$ , $u$ и $v$ такие, что $а = с 2 + т 2 + ты 2 + v 2$ и $б знак равно s + т + ты + v$ .

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хит (1910) .
^ Белл, Эрик Темпл (1956), «Гаусс, принц математиков», в книге Ньюмана, Джеймса Р. (редактор), «Мир математики» , том. Я, Саймон и Шустер , стр. 295–339 . Дуврское переиздание, 2000 г., ISBN 0-486-41150-8 .
^ Оно, Кен; Робинс, Синай; Уол, Патрик Т. (1995), «О представлении целых чисел в виде сумм треугольных чисел», Aequationes Mathematicae , 50 (1–2): 73–94, doi : 10.1007/BF01831114 , MR 1336863 , S2CID 122203472 .

Ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Ферма о многоугольных числах» . Математический мир .
Хит, сэр Томас Литтл (1910), Диофант Александрийский; исследование по истории греческой алгебры , издательство Кембриджского университета, стр. 188 .
Натансон, Мелвин Б. (1987), «Краткое доказательство теоремы Коши о многоугольных числах», Proceedings of the American Mathematical Society , 99 (1): 22–24, doi : 10.2307/2046263 , JSTOR 2046263 , MR 0866422 .
Натансон, Мелвин Б. (1996), Аддитивная теория чисел. Классические основы , Берлин: Springer , ISBN. 978-0-387-94656-6 . Имеет доказательства теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.

[heath-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хит (1910) .

[2] Белл, Эрик Темпл (1956), «Гаусс, принц математиков», в книге Ньюмана, Джеймса Р. (редактор), «Мир математики» , том. Я, Саймон и Шустер , стр. 295–339 . Дуврское переиздание, 2000 г., ISBN 0-486-41150-8 .

[3] Оно, Кен; Робинс, Синай; Уол, Патрик Т. (1995), «О представлении целых чисел в виде сумм треугольных чисел», Aequationes Mathematicae , 50 (1–2): 73–94, doi : 10.1007/BF01831114 , MR 1336863 , S2CID 122203472 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]