Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике

Два прямоугольных треугольника, у которых два катета верхнего равны катету и гипотенузе нижнего. Для этих длин $a^{2}$, $b^{2}$, и $c^{2}$ образуют арифметическую прогрессию, разделенную пробелом $d^{2}$. Это невозможно для всех четырех длин. $a$, $b$, $c$, и $d$ быть целыми числами.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике — доказательство несуществования в теории чисел , опубликованное в 1670 году среди работ Пьера де Ферма , вскоре после его смерти. Это единственное полное доказательство, данное Ферма. У него есть множество эквивалентных формулировок, одна из которых была сформулирована (но не доказана) в 1225 году Фибоначчи . В своих геометрических формах оно гласит:

• на Прямоугольный треугольник евклидовой плоскости , у которого длины всех трех сторон являются рациональными числами, не может иметь площадь, равную квадрату рационального числа. Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами называется конгруэнтным числом , поэтому ни одно конгруэнтное число не может быть квадратом.
• У прямоугольного треугольника и квадрата равных площадей все стороны не могут быть соизмеримы друг с другом.
• Не существует двух целосторонних прямоугольных треугольников , у которых два катета одного треугольника являются катетом и гипотенузой другого треугольника.

Более абстрактно, что касается диофантовых уравнений (целочисленных или рациональных решений полиномиальных уравнений), это эквивалентно утверждениям, что:

• Если три квадратных числа образуют арифметическую прогрессию , то промежуток между последовательными числами в прогрессии (называемый конгруумом ) сам по себе не может быть квадратным.
• Единственные рациональные точки на эллиптической кривой $y^{2}=x(x-1)(x+1)$ три тривиальные точки с $x\in \{-1,0,1\}$ и $y=0$.
• Уравнение четвертой степени $x^{4}-y^{4}=z^{2}$ не имеет ненулевого целочисленного решения.

Непосредственным следствием последней из этих формулировок является то, что Великая теорема Ферма верна в том особом случае, когда ее показатель равен 4.

Формулировка

Квадраты в арифметической прогрессии

В 1225 году император Фридрих II предложил математику Фибоначчи принять участие в математическом соревновании с несколькими другими математиками с тремя задачами, поставленными его придворным философом Иоанном Палермским. Первая из этих задач требовала трех рациональных чисел, квадраты которых были расположены на одинаковом расстоянии друг от друга на пять единиц, и была решена Фибоначчи с помощью трех чисел. ${\tfrac {31}{12}}$, ${\tfrac {41}{12}}$, и ${\tfrac {49}{12}}$. В «Книге квадратов» , опубликованной позднее в том же году Фибоначчи, он решил более общую задачу нахождения троек квадратных чисел , находящихся на равном расстоянии друг от друга, образующих арифметическую прогрессию . Фибоначчи назвал разрыв между этими числами конгруумом . Один из способов описания решения Фибоначчи состоит в том, что числа, которые нужно возвести в квадрат, представляют собой разность катетов, гипотенузы и суммы катетов пифагорова треугольника , а конгруум в четыре раза больше площади того же треугольника. Фибоначчи заметил, что конгруум сам по себе не может быть квадратным числом, но не представил удовлетворительного доказательства этого факта.

Если три квадрата $a^{2}$, $b^{2}$, и $c^{2}$ могла образовать арифметическую прогрессию, конгруум которой также был квадратом. $d^{2}$, то эти числа будут удовлетворять диофантовым уравнениям $${\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\\\end{aligned}}$$ То есть по теореме Пифагора они образовали бы два прямоугольных целосторонних треугольника, в которых пара $(d,b)$ дает один катет и гипотенузу меньшего треугольника, и та же пара образует также два катета большего треугольника. Но если (как утверждал Фибоначчи) не может существовать конгруума квадратов, то не может быть двух целочисленных прямоугольных треугольников, которые таким образом имеют две общие стороны.

Площади прямоугольных треугольников

Поскольку конгруумы - это в точности числа, которые в четыре раза превышают площадь треугольника Пифагора, а умножение на четыре не меняет того, является ли число квадратным, существование квадратного конгруума эквивалентно существованию пифагорейского треугольника с квадратной площадью. . Именно к этому варианту задачи относится доказательство Ферма: он показывает, что такого треугольника не существует. При рассмотрении этой проблемы Ферма вдохновлялся не Фибоначчи, а изданием «Арифметики» , Диофанта опубликованным в переводе на французский язык в 1621 году Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком . В этой книге описывались различные специальные прямоугольные треугольники , площади которых имели форму квадрата, но не рассматривались случаи площадей, которые сами по себе были квадратами.

Переставляя уравнения для двух треугольников Пифагора, приведенных выше, а затем умножая их вместе, можно получить одно диофантово уравнение. $$b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}$$ которую можно упростить, введя новую переменную $e=ac$ к $$b^{4}-d^{4}=e^{2}.$$ И наоборот, любые три положительных целых числа, подчиняющиеся уравнению $b^{4}-d^{4}=e^{2}$ приводят к квадратному равенству: для этих чисел квадраты $(b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}$, $(b^{4}+d^{4})^{2}$, и $(b^{4}-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}$ составить арифметическую прогрессию с конгруумом $4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}$, который сам по себе является квадратом. Таким образом, разрешимость $b^{4}-d^{4}=e^{2}$ эквивалентно существованию квадратного конгруума. Но если бы Великая теорема Ферма имела контрпример для показателя степени $4$, целое решение уравнения $x^{4}+y^{4}=z^{4}$, то возведение в квадрат одного из трех чисел в контрпримере даст три числа, которые решают уравнение $b^{4}-d^{4}=e^{2}$. Следовательно, доказательство Ферма о том, что ни один пифагоров треугольник не имеет квадратной площади, подразумевает истинность показателя степени: $4$ случай Великой теоремы Ферма.

Другая эквивалентная формулировка той же проблемы включает в себя конгруэнтные числа , числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников, все три стороны которых являются рациональными числами . Умножая стороны на общий знаменатель, любое соответствующее число можно преобразовать в площадь пифагорова треугольника, из чего следует, что равные числа — это в точности числа, образованные умножением конгруума на квадрат рационального числа. Следовательно, существование конгруума квадратов эквивалентно утверждению, что число 1 не является конгруэнтным числом. Другой, более геометрический способ формулировки этой формулировки заключается в том, что квадрат (геометрическая фигура) и прямоугольный треугольник не могут иметь равные площади и все стороны соизмеримые друг с другом.

Эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая y ² знак равно Икс ( Икс + 1)( Икс - 1) . Три рациональные точки (−1,0), (0,0) и (1,0) являются пересечениями этой кривой с осью x .

Еще одна эквивалентная форма теоремы Ферма включает эллиптическую кривую, состоящую из точек, декартовы координаты которых $(x,y)$ удовлетворить уравнение $$y^{2}=x(x+1)(x-1).$$ Точки (−1,0), (0,0) и (1,0) дают очевидные решения этого уравнения. Теорема Ферма эквивалентна утверждению, что это единственные точки на кривой, для которых оба $x$ и $y$ рациональны. В более общем смысле, прямоугольные треугольники с рациональными сторонами и площадью $n$ соответствуют один к одному рациональным точкам с положительными $y$-координата на эллиптической кривой $y^{2}=x(x+n)(x-n)$.

Доказательство Ферма

При жизни Ферма бросил вызов нескольким другим математикам доказать несуществование пифагорова треугольника с квадратной площадью, но сам не опубликовал доказательство. Однако он написал доказательство в своей копии «Арифметики» Диофанта , той самой копии, в которой он написал, что может доказать Великую теорему Ферма . Сын Ферма Клемент-Самуэль опубликовал издание этой книги, включая заметки Ферма на полях с доказательством теоремы о прямоугольном треугольнике, в 1670 году.

Доказательство Ферма — это доказательство методом бесконечного спуска . Он показывает, что из любого примера треугольника Пифагора с квадратной площадью можно вывести пример меньшего размера. Поскольку площади пифагорейских треугольников имеют целые положительные числа и не существует бесконечной убывающей последовательности натуральных чисел, не может существовать и треугольник Пифагора с квадратной площадью.

Более подробно предположим, что $x$, $y$, и $z$ — целые стороны прямоугольного треугольника квадратной площади. Разделив на любые общие множители, можно считать, что этот треугольник примитивный. и из известной формы всех примитивных пифагорейских троек можно установить $x=2pq$, $y=p^{2}-q^{2}$, и $z=p^{2}+q^{2}$, благодаря чему задача трансформируется в поиск относительно простых целых чисел $p$ и $q$ (один из которых четный) такой, что площадь $pq(p^{2}-q^{2})$ квадратный. Чтобы это число было квадратом, его четыре линейных множителя $p$, $q$, $p+q$, и $p-q$ (которые относительно простые) сами должны быть квадратами; позволять $p+q=r^{2}$ и $p-q=s^{2}$. Оба $r$ и $s$ должно быть нечетным, поскольку ровно один из $p$ или $q$ четное, а другое нечетное. Таким образом, оба $r-s$ и $r+s$ четные, и одно из них делится на 4. При делении их на два получаются еще два целых числа. $u=(r-s)/2$ и $v=(r+s)/2$, один из которых даже по предыдущему предложению. Потому что $u^{2}+v^{2}=(r^{2}+s^{2})/2=p$ это квадрат, $u$ и $v$ являются катетами другого примитивного треугольника Пифагора, площадь которого равна $uv/2=q/4$. С $q$ сам по себе является квадратом, и поскольку $uv$ даже, $q/4$ представляет собой квадрат. Таким образом, любой треугольник Пифагора с квадратной площадью приводит к меньшему треугольнику Пифагора с квадратной площадью, что завершает доказательство.

Ссылки

• Барбара, Рой (июль 2007 г.), «91.33 Последняя теорема Ферма в случае $n=4$", Notes, The Mathematical Gazette , 91 (521): 260–262, doi : 10.1017/S002555720018163X , JSTOR   40378352 , S2CID   125255403
• Бейлер, Альберт Х. (1964), Отдых в теории чисел: Королева математики развлекает , Dover Books, стр. 153, ISBN  978-0-486-21096-4
• Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: от древних времен до 1300 года , Infobase Publishing, стр. 124, ISBN  978-0-8160-5423-7
• Конрад, Кейт (осень 2008 г.), «Проблема совпадающих чисел» (PDF) , Математическое обозрение Гарвардского колледжа , 2 (2): 58–73, заархивировано из оригинала (PDF) 20 января 2013 г.
• Купер, Джошуа; Пуарель, Крис (2008), Пифагорейская регулярность разбиения и упорядоченные тройные системы со свойством суммы , arXiv : 0809.3478
• Диксон, Леонард Юджин (1920), «Сумма или разность двух биквадратов никогда не является квадратом; площадь рационального прямоугольного треугольника никогда не является квадратом» , История теории чисел, Том II: Диофантовый анализ , Институт Карнеги в Вашингтоне, стр. 615–620
• Эдвардс, Гарольд М. (2000), «1.6 Одно доказательство Ферма» , Великая теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 50, Springer, стр. 10–14, ISBN.  978-0-387-95002-0
• Гольдштейн, Кэтрин (1995), Теорема Ферма и ее читатели , Сен-Дени: Presses Universaires de Vincennes
• Грант, Майк; Перелла, Малькольм (июль 1999 г.), «83.25 Спускаясь к иррациональному», Notes, The Mathematical Gazette , 83 (497): 263–267, doi : 10.2307/3619054 , JSTOR   3619054 , S2CID   125167994
• Като, Казуя; Сайто, Такеши (2000), Теория чисел: мечта Ферма , Переводы математических монографий, перевод Нобусигэ Курокавы, Американское математическое общество, стр. 17, ISBN  978-0-8218-0863-4
• Коблиц, Нил (1993), Введение в эллиптические кривые и модульные формы , Тексты для аспирантов по математике, том. 97 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-97966-2
• Оре, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история , Dover Books, стр. 202–203, ISBN  978-0-486-13643-1
• Стиллвелл, Джон (1998), «4.7 Площадь рациональных прямоугольных треугольников» , Числа и геометрия , Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 131–133, ISBN  978-0-387-98289-2