Арифметика

	Обложка издания 1621 года, переведенная на латынь с греческого Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком .
Автор	Диофант

Арифметика ( греч . Ἀριθμητικά ) — древнегреческий текст по математике, написанный математиком Диофантом ( ок. 200/214 г. н.э. – ок. 284/298 г. н. э .) в III веке нашей эры. ^[1] Это сборник из 130 алгебраических задач, дающих численные решения определенных уравнений (имеющих единственное решение) и неопределенных уравнений .

Резюме [ править ]

Уравнения в книге в настоящее время называются диофантовыми уравнениями . Метод решения этих уравнений известен как диофантов анализ . Большинство задач по арифметике приводят к квадратным уравнениям .

В книге 3 Диофант решает задачи по поиску значений, которые одновременно преобразуют два линейных выражения в квадраты или кубы. В книге 4 он находит рациональные степени между заданными числами. Он также заметил, что числа вида $4n+3$ не может быть суммой двух квадратов. Диофант также, по-видимому, знал, что любое число можно записать в виде суммы четырех квадратов . Если бы он действительно знал этот результат (в том смысле, что доказал его, а не просто предположил), его поступок был бы поистине замечательным: даже Ферма, который сформулировал этот результат, не смог предоставить его доказательство, и он не был решен. пока Жозеф Луи Лагранж не доказал это, используя результаты Леонарда Эйлера .

Первоначально «Арифметика» была написана в тринадцати книгах, но дошедшие до наших дней греческие рукописи содержат не более шести книг. ^[2] В 1968 году Фуат Сезгин нашел четыре ранее неизвестные книги по арифметике в святилище Имама Резы в священном исламском городе Мешхед на северо-востоке Ирана. ^[3] Считается, что эти четыре книги были переведены с греческого на арабский Кустой ибн Лукой (820–912). ^[2] Норберт Шаппахер писал:

[Четыре недостающие книги] вновь появились примерно в 1971 году в библиотеке Астан-Кудс в Мешеде (Иран) в копии 1198 года нашей эры. Он не был внесен в каталог под именем Диофанта (но под именем Куста ибн Лука ), потому что библиотекарь, по-видимому, не смог прочитать основную строку титульного листа, где имя Диофанта написано геометрической куфийской каллиграфией . ^[4]

Арифметика стала известна математикам исламского мира в десятом веке. ^[5] когда Абуль-Вефа перевел его на арабский язык. ^[6]

Синкопированная алгебра [ править ]

Диофант был эллинистическим математиком, жившим около 250 г. н. э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отклоняться более чем на столетие. Он известен тем, что написал «Арифметику» , трактат, первоначально состоявший из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. ^[7]

«Арифметика» — самая ранняя из сохранившихся работ, в которых арифметические задачи решаются с помощью алгебры. Однако Диофант не изобрел метод алгебры, существовавший до него. ^[8] Алгебра практиковалась и распространялась устно практиками, а Диофант освоил технику решения арифметических задач. ^[9]

В современной алгебре полином Лорана — это линейная комбинация некоторых переменных, возведенная в целые степени, которая ведет себя при умножении, сложении и вычитании. Алгебра Диофанта, похожая на средневековую арабскую алгебру, представляет собой совокупность объектов разных типов без каких-либо операций. ^[10]

Например, полином Лорана, записанный как $6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9$ в современных обозначениях записано Диофантом как «6 4 ′ обратных Степеней, 25 Степеней без 9 единиц» или «совокупность $6{\tfrac {1}{4}}$ объекта одного типа с 25 объектами второго типа, в которых отсутствуют 9 объектов третьего типа без каких-либо операций». ^[11]

Подобно средневековой арабской алгебре, Диофант использует три этапа решения задачи по алгебре:

1) Называется неизвестное и составляется уравнение.

2) Уравнение упрощается до стандартной формы (аль-джабр и аль-мукабала по-арабски).

3) Упрощенное уравнение решено ^[12]

Диофант не дает классификации уравнений на шесть типов, как Аль-Хорезми в дошедших до нас частях Арифметики. Он говорит, что позже даст решение уравнениям с тремя членами, так что эта часть работы, возможно, просто потеряна. ^[9]

В Арифметике Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для степеней чисел, отношений и операций; ^[13] таким образом, он использовал то, что теперь известно как синкопированная алгебра . Основное отличие диофантовой синкопированной алгебры от современных алгебраических обозначений состоит в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент. ^[14] Так, например, что будет записано в современных обозначениях как

x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,

который можно переписать как

\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,

будет записано в синкопированной записи Диофанта как

\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;

ἴ

\sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}

где символы обозначают следующее: ^[15]^[16]

Символ	Что это собой представляет
${\overline {\alpha }}$	1 ( Альфа — первая буква греческого алфавита )
${\overline {\beta }}$	2 ( Бета — вторая буква греческого алфавита)
${\overline {\varepsilon }}$	5 ( Эпсилон — пятая буква греческого алфавита)
${\overline {\iota }}$	10 ( Йота — 9-я буква современного греческого алфавита , но это была 10-я буква древнегреческого алфавита , в которой буква дигамма (прописная: Ϝ, строчная: ϝ) находилась на 6-й позиции между эпсилоном ε и дзета ζ.)
равный	«равно» (сокращение от ἴσος )
$\pitchfork$	представляет собой вычитание всего, что следует за этим $\pitchfork$ до ἴσ
$\mathrm {M}$	нулевая степень (то есть постоянный член)
$\zeta$	неизвестное количество (поскольку число $x$ возведение в первую степень - это просто $x,$ это можно рассматривать как «первую силу»)
$\Delta ^{\upsilon }$	вторая сила, от греческого δύναμις , что означает силу или власть
$\mathrm {K} ^{\upsilon }$	третья степень, от греческого κύβος , что означает куб
$\Delta ^{\upsilon }\Delta$	четвертая власть
$\Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }$	пятая власть
$\mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K}$	шестая власть

В отличие от современных обозначений, коэффициенты идут после переменных, а сложение представляет собой сопоставление членов. Буквальный посимвольный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим: ^[16]

{x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5

где уточнить, если используются современные круглые скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать так: ^[16]

\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5

Однако Джеффри Оукс и Джин Кристианидис считают различие между «риторической алгеброй», «синкопированной алгеброй» и «символической алгеброй» устаревшим. Задачи решались на доске с использованием некоторых обозначений, а в книгах решения записывались в «риторическом стиле». ^[17]

Арифметика также использует тождества: ^[18]

{\begin{alignedat}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}\\&=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}\\\end{alignedat}}

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

^ «Дифант Александрийский (греческий математик)» . Британская энциклопедия . Проверено 11 апреля 2013 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Мэгилл, Фрэнк Н., изд. (1998). Словарь мировой биографии . Том. 1. Салем Пресс. п. 362. ИСБН 9781135457396 .
^ Хогендейк, Ян П. (1985). «Обзор Дж. Сезиано, книг IV–VII арифметики Диофанта» . Проверено 6 июля 2014 г. Только шесть из тринадцати книг «Арифметики » Диофанта (ок. 250 г. н. э.) сохранились на греческом языке. Остальные книги считались утерянными до недавнего открытия средневекового арабского перевода четырех из оставшихся книг в рукописи в храмовой библиотеке в Мешеде в Иране (см. каталог [Гульчин-и Маани 1971-1972, С. 235-236]. Рукопись обнаружена в 1968 г. Ф. Сезгиным).
^ Шаппахер, Норберт (апрель 2005 г.). «Дифант Александрийский: текст и его история» (PDF) . п. 18 . Проверено 9 октября 2015 г.
^ ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 234 ) «Обратите внимание на упущение Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, сначала не были известны в Аравии, хотя Диофантова арифметика стала известна еще до конца десятого века. ."
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 239 ) «Абул-Вефа был способным алгебраистом, а также тригонометром. Он комментировал « Алгебру » аль-Хорезми и перевел с греческого один из последних великих классиков. , Арифметика Диофанта».
^ ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) «Неопределенность в отношении жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем точно, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он процветал около 250 г. н. э., но иногда предполагаются даты на столетие или больше раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет [...] Главный известный нам диофантов труд - « Арифметика». , трактат, изначально состоявший из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть».
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Джон. Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии. п. 80.
^ Перейти обратно: ^а ^б Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского» . История Математики . 40 (2): 158–160. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского» . История Математики . 40 : 150.
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии. стр. 100-1 51–52.
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2021). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии. стр. 100-1 53–66.
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180-182) «В этом отношении ее можно сравнить с великими классиками ранней александрийской эпохи; однако она не имеет практически ничего общего с ними или, по сути, , с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой по существу новую ветвь и использует другой подход. Будучи отделенной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но тогда как вавилонские математики занимались преимущественно приближенными решениями определенных уравнений. до третьей степени Арифметика Диофанта (такая, какая она есть у нас) почти полностью посвящена точному решению уравнений, как определенных , так и неопределенных [...] Во всех шести сохранившихся книгах Арифметики существует систематика. использование сокращений для степеней чисел, а также для отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву. $\zeta$ (возможно, для последней буквы арифма). [...] Вместо этого это набор из примерно 150 задач, все они разработаны на основе конкретных численных примеров, хотя, возможно, предполагалась общность метода. Не разрабатываются постулаты и не предпринимаются попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями выдается только больший из них, а отрицательные корни не распознаются. Не проводится четкого различия между определенными и неопределенными задачами, и даже для последних, число решений которых вообще не ограничено, дается только один ответ. Диофант решал задачи, связанные с несколькими неизвестными числами, умело выражая все неизвестные величины, где это возможно, через только одно из них».
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) «Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической записью заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
^ ( Кук 1997 , «Математика в Римской империи», стр. 167-168)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Дербишир, 2006 , «Отец алгебры», стр. 35-36)
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 78–79. У этой трихотомии есть два основных недостатка. Во-первых, язык, написанный в книгах, не всегда является тем языком, на котором решались задачи. В арабском языке задачи часто решались в виде записей на доске или какой-либо другой временной поверхности, а затем для включения в книгу составлялся риторический вариант. Кроме того, из-за двумерного характера арабской записи ее можно было бы писать и читать визуально, независимо от реальной или воображаемой речи. Таким образом, оно прекрасно вписывается в «символическую» категорию Нессельмана. Риторическая версия того же произведения, напротив, была отнесена к категории «риторических». Эти два способа записи алгебры не отражают два этапа развития алгебры, а представляют собой разные способы выражения одних и тех же идей. Во-вторых, Нессельман не осознавал концептуальных различий между домодернистской и современной алгеброй и, таким образом, не мог оценить скачок, сделанный во времена Виета и Декарта, который включал радикальный сдвиг в интерпретации обозначений.
^ ( Boyer 1991 , «Европа в Средневековье», стр. 257) «В книге часто используются идентичности [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».

Ссылки [ править ]

Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 0-471-54397-7 .
Кристианидис, Жан; Оукс, Джеффри А. (2023). Арифметика Диофанта: полный перевод и комментарии Абингдон, Оксон, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 1138046353 .
Кук, Роджер (1997). История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-18082-3 .
Дербишир, Джон (2006). Неизвестная величина: реальная и воображаемая история алгебры . Джозеф Генри Пресс. ISBN 0-309-09657-Х .
Хит, сэр Томас Л. (2009). Диофант Александрийский: Исследование по истории греческой алгебры . Книги Мартино Файн. ISBN 978-1-57898-754-2 .
Кац, Виктор Дж.; Паршалл, Карен Хангер (2014). Укрощение неизвестного: история алгебры от античности до начала двадцатого века . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14905-9 .
Сезиано, Жак (2011). Книги с IV по VII «Арифметики» Диофанта в арабском переводе, приписываемом Кусте ибн Луке. Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer-Verlag. ISBN 1461381762 .

Внешние ссылки [ править ]

Диофант Александринский, Пьер де Ферма, Клод Гаспар Баше де Мезириак, Диофант Александринский Арифметикорум, книга 6, и De numeros multigonulis, одна книга . Когда связь. C(laude) G(aspar) Баше и наблюдения П(ьера) де Ферма. Акк. новое открытие аналитической доктрины, сб. из его различных Тулуза 1670 г. дои : 10.3931/e-rara-9423 .

[1] «Дифант Александрийский (греческий математик)» . Британская энциклопедия . Проверено 11 апреля 2013 г.

[magill-2] Перейти обратно: ^а ^б Мэгилл, Фрэнк Н., изд. (1998). Словарь мировой биографии . Том. 1. Салем Пресс. п. 362. ИСБН 9781135457396 .

[3] Хогендейк, Ян П. (1985). «Обзор Дж. Сезиано, книг IV–VII арифметики Диофанта» . Проверено 6 июля 2014 г. Только шесть из тринадцати книг «Арифметики » Диофанта (ок. 250 г. н. э.) сохранились на греческом языке. Остальные книги считались утерянными до недавнего открытия средневекового арабского перевода четырех из оставшихся книг в рукописи в храмовой библиотеке в Мешеде в Иране (см. каталог [Гульчин-и Маани 1971-1972, С. 235-236]. Рукопись обнаружена в 1968 г. Ф. Сезгиным).

[4] Шаппахер, Норберт (апрель 2005 г.). «Дифант Александрийский: текст и его история» (PDF) . п. 18 . Проверено 9 октября 2015 г.

[5] ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 234 ) «Обратите внимание на упущение Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, сначала не были известны в Аравии, хотя Диофантова арифметика стала известна еще до конца десятого века. ."

[6] ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 239 ) «Абул-Вефа был способным алгебраистом, а также тригонометром. Он комментировал « Алгебру » аль-Хорезми и перевел с греческого один из последних великих классиков. , Арифметика Диофанта».

[Boyer_Diophantus-7] ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) «Неопределенность в отношении жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем точно, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он процветал около 250 г. н. э., но иногда предполагаются даты на столетие или больше раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет [...] Главный известный нам диофантов труд - « Арифметика». , трактат, изначально состоявший из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть».

[8] Оукс, Джеффри; Кристианидис, Джон. Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии. п. 80.

[:0-9] Перейти обратно: ^а ^б Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского» . История Математики . 40 (2): 158–160. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .

[10] Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского» . История Математики . 40 : 150.

[11] Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии. стр. 100-1 51–52.

[12] Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2021). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии. стр. 100-1 53–66.

[Boyer_Arithmetica-13] ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180-182) «В этом отношении ее можно сравнить с великими классиками ранней александрийской эпохи; однако она не имеет практически ничего общего с ними или, по сути, , с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой по существу новую ветвь и использует другой подход. Будучи отделенной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но тогда как вавилонские математики занимались преимущественно приближенными решениями определенных уравнений. до третьей степени Арифметика Диофанта (такая, какая она есть у нас) почти полностью посвящена точному решению уравнений, как определенных , так и неопределенных [...] Во всех шести сохранившихся книгах Арифметики существует систематика. использование сокращений для степеней чисел, а также для отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву. $\zeta$ (возможно, для последней буквы арифма). [...] Вместо этого это набор из примерно 150 задач, все они разработаны на основе конкретных численных примеров, хотя, возможно, предполагалась общность метода. Не разрабатываются постулаты и не предпринимаются попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями выдается только больший из них, а отрицательные корни не распознаются. Не проводится четкого различия между определенными и неопределенными задачами, и даже для последних, число решений которых вообще не ограничено, дается только один ответ. Диофант решал задачи, связанные с несколькими неизвестными числами, умело выражая все неизвестные величины, где это возможно, через только одно из них».

[Boyer-14] ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) «Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической записью заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».

[15] ( Кук 1997 , «Математика в Римской империи», стр. 167-168)

[Diophantus_Syncopation-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с ( Дербишир, 2006 , «Отец алгебры», стр. 35-36)

[17] Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 78–79. У этой трихотомии есть два основных недостатка. Во-первых, язык, написанный в книгах, не всегда является тем языком, на котором решались задачи. В арабском языке задачи часто решались в виде записей на доске или какой-либо другой временной поверхности, а затем для включения в книгу составлялся риторический вариант. Кроме того, из-за двумерного характера арабской записи ее можно было бы писать и читать визуально, независимо от реальной или воображаемой речи. Таким образом, оно прекрасно вписывается в «символическую» категорию Нессельмана. Риторическая версия того же произведения, напротив, была отнесена к категории «риторических». Эти два способа записи алгебры не отражают два этапа развития алгебры, а представляют собой разные способы выражения одних и тех же идей. Во-вторых, Нессельман не осознавал концептуальных различий между домодернистской и современной алгеброй и, таким образом, не мог оценить скачок, сделанный во времена Виета и Декарта, который включал радикальный сдвиг в интерпретации обозначений.

[18] ( Boyer 1991 , «Европа в Средневековье», стр. 257) «В книге часто используются идентичности [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]