О сфере и цилиндре

Страница из «О сфере и цилиндре» на латыни.

«О сфере и цилиндре» ( греч . Περὶ σκελογας καὶ κιλινδρου ) — трактат, опубликованный Архимедом в двух томах ок. 225 г. до н.э. В частности, в нем подробно описано, как найти площадь поверхности и сферы объем содержащегося в нем шара , а также аналогичные значения для цилиндра , и он был первым, кто сделал это.

Содержание

Отношение объема шара к объему описанного в нем цилиндра составляет 2:3, как это определил Архимед.

Основные формулы, полученные в книге « О сфере и цилиндре», упомянуты выше: площадь поверхности сферы, объем содержащегося в ней шара, а также площадь поверхности и объем цилиндра. Позволять $r$ - радиус сферы и цилиндра, а $h$— высота цилиндра, в предположении что цилиндр — правый цилиндр — стороны перпендикулярны обеим крышкам. В своей работе Архимед показал, что площадь поверхности цилиндра равна:

$A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,$

и что его объем равен:

$V_{C}=\pi r^{2}h.\,$

На сфере он показал, что площадь поверхности в четыре раза превышает площадь ее большого круга . Говоря современным языком, это означает, что площадь поверхности равна:

$A_{S}=4\pi r^{2}.\,$

Результат определения объема содержащегося в нем шара показал, что он составляет две трети объема описанного цилиндра , а это означает, что объем равен

$V_{S}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Когда записывающий цилиндр герметичен и имеет высоту $h=2r$, так что сфера касается цилиндра сверху и снизу, он показал, что объем и площадь поверхности сферы составляют две трети цилиндра. Отсюда следует площадь сферы равна площади цилиндра за вычетом его крышек. Этот результат в конечном итоге приведет к цилиндрической равновеликой проекции Ламберта , способ картографирования мира, который точно представляет области. Архимед особенно гордился этим последним результатом (поскольку он якобы был начертан на его надгробии , обнаруженном Цицероном ), и поэтому он попросил начертить на его могиле эскиз сферы, вписанной в цилиндр. Позже римский философ Марк Туллий Цицерон обнаружил гробницу, заросшую окружающей растительностью.

Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы объема шара, был скорее связан с его геометрией, и во многих современных учебниках есть упрощенная версия, использующая понятие предела , которого не существовало во времена Архимеда. Архимед использовал вписанный полумногоугольник в полукруг, а затем повернул оба, чтобы создать конгломерат усеченных усеченных элементов в сфере, объем которой он затем определил.

Похоже, что это не оригинальный метод, который Архимед использовал для получения этого результата, а лучший формальный аргумент, доступный ему в греческой математической традиции. Его первоначальный метод, вероятно, заключался в умелом использовании рычагов. Палимпсест , украденный у Греческой православной церкви в начале 20-го века и вновь появившийся на аукционе в 1998 году, содержал множество работ Архимеда, в том числе « Метод механических теорем» , в котором он описывает метод определения объемов, включающий в себя балансы, центры масс. и бесконечно малые кусочки.

См. также

• Архимедово свойство
• Цилиндр

Ссылки

• Данэм, Уильям (1990), Путешествие через гения (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-50030-5
• Данэм, Уильям (1994), Математическая Вселенная (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-53656-3
• С.Х. Гулд, Метод Архимеда, Американский математический ежемесячник. Том. 62, № 7 (август - сентябрь 1955 г.), стр. 473–476.

• Лусио Ломбардо Радиче, Математика от Пифагора до Ньютона , Рим, Editori Riuniti , 1971.
• Аттилио Фраджезе, Работы Архимеда , Турин, UTET, 1974.