Задача Архимеда о скоте

Наименьшее решение проблемы Архимеда со скотом, где каждый значок представляет около 10. ^{206 543} крупный рогатый скот

Задача Архимеда о скоте (или проблема быка или проблема Архимеда ) — это проблема диофантового анализа , исследования полиномиальных уравнений с целочисленными решениями. Задача, приписываемая Архимеду , заключается в вычислении количества крупного рогатого скота в стаде бога Солнца с учетом заданного набора ограничений. Проблема была обнаружена Готхольдом Эфраимом Лессингом в греческой рукописи, содержащей стихотворение из сорока четырех строк, в библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия , в 1773 году.

Проблема оставалась нерешенной в течение нескольких лет, отчасти из-за сложности вычисления огромных чисел, задействованных в решении. Общее решение было найдено в 1880 году Карлом Эрнстом Августом Амтором (1845–1916), директором Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Гимназии Святого Креста) в Дрездене, Германия. Используя логарифмические таблицы , он вычислил первые цифры наименьшего решения, показав, что оно составляет примерно 7,76 × 10. ^{206 544} крупного рогатого скота, гораздо больше, чем могло бы поместиться в обозримой Вселенной . Десятичная форма слишком длинная, чтобы люди могли ее точно вычислить, но компьютерные арифметические пакеты с многократной точностью могут записать ее явно.

История

В 1769 году Готхольд Эфраим Лессинг был назначен библиотекарем библиотеки Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, которая содержала множество греческих и латинских рукописей. Несколько лет спустя Лессинг опубликовал переводы некоторых рукописей с комментариями. Среди них было греческое стихотворение из сорока четырех строк, содержащее арифметическую задачу, в которой читателю предлагается найти количество крупного рогатого скота в стаде бога Солнца . Сейчас его обычно приписывают Архимеду.

Проблема

Проблема в переводе на английский Айвора Томаса гласит:

Если ты прилежен и мудр, о странник, вычисли количество скота Солнца , который когда-то пасся на полях Тринакийского острова Сицилия, разделенный на четыре стада разного цвета: одно молочно-белое, другое блестящее. черный, третий желтый и последний в крапинку. В каждом стаде были быки, многочисленные в соответствии с такими пропорциями: Пойми, странник, что белые быки были равны половине и трети черных вместе со всей желтой частью, а черные были равны четвертой части. пятнистого и пятого, а также еще раз всего желтого. Заметьте далее, что оставшиеся быки, пятнистые, составляли шестую часть белого и седьмую часть вместе со всем желтым. Таковы были пропорции коров: белые были точно равны третьей части и четверти всего стада черных; в то время как черные были равны четвертой части еще раз пятнистых и вместе с ней пятой части, когда все, включая быков, пошли на пастбище вместе. Теперь пятнистых, разделенных на четыре части, по численности было равно пятой части и шестой части желтого стада. Наконец, желтые оказались по численности равны шестой и седьмой части белого стада. Если ты, о странник, сможешь точно определить количество скота Солнца, указав отдельно количество сытых быков и снова количество самок в соответствии с каждым цветом, то тебя не назовут неумелым или невежественным в числах, но и не но ты будешь причислен к мудрым.

Но придите, поймите также все эти условия относительно скота Солнца. Когда белые быки смешались с черными, они стояли твердо, равные по глубине и ширине, и равнины Тринасии, простирающиеся далеко во всех отношениях, наполнились их множеством. Опять же, когда желтые и пестрые быки были собраны в одно стадо, они стояли таким образом, что их число, начиная с одного, медленно увеличивалось, пока не превратилось в треугольную фигуру, причем среди них не было ни быков других цветов, ни никого. из них отсутствуют. Если ты сможешь, о странник, узнать все эти вещи и собрать их вместе в своем разуме, приведя все соотношения, ты уйдешь увенчанный славой и зная, что ты признан совершенным в этом виде мудрости.

Решение

Первую часть задачи можно легко решить, составив систему уравнений . Если количество белых, черных, пестрых и желтых быков записать как $W,B,D,$ и $Y$, а количество белых, черных, пестрых и желтых коров записывается как $w,b,d,$ и $y$проблема состоит в том, чтобы просто найти решение

${\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}$

которая представляет собой систему семи уравнений с восемью неизвестными. Оно неопределенно и имеет бесконечно много решений. Наименьшие положительные целые числа, удовлетворяющие семи уравнениям:

${\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}$

а это в общей сложности 50 389 082 голов крупного рогатого скота, а остальные решения являются целыми кратными им. Обратите внимание, что, учитывая простое число p = 4657, первые четыре числа кратны p , и оба числа p и p+1 будут неоднократно появляться ниже.

Вторая часть задачи гласит, что $W+B$ - квадратное число , и $Y+D$ представляет собой треугольное число . Общее решение этой части задачи впервые нашел А. Амтор. в 1880 году. Следующий вариант его описал H.W. Lenstra , на основе уравнения Пелла : решение, данное выше для первой части задачи, следует умножить на

$n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}},$

где j — любое положительное целое число и

$w=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}},$

Эквивалентно, возведение w в квадрат приводит к

$w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}},$

где $(u,v)$ является фундаментальным решением уравнения Пелля

$u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.$

Тогда размер наименьшего стада, которое могло бы удовлетворить как первую, так и вторую часть задачи, определяется как j = 1 и составляет около $7.76\times 10^{206\,544}$ (впервые решено Амтором). Современные компьютеры могут легко распечатать все цифры ответа. Впервые это было сделано в Университете Ватерлоо в 1965 году Хью К. Уильямсом , Р. А. Германом и Чарльзом Робертом Зарнке. Они использовали комбинацию компьютеров IBM 7040 и IBM 1620 .

Уравнение Пелла

Ограничения второй части задачи просты, и можно легко получить фактическое уравнение Пелла , которое необходимо решить. Во-первых, если спросить, что B + W должно быть квадратом , или, используя значения, приведенные выше,

$B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k,$

таким образом, следует положить k = (3)(11)(29)(4657) q ² для некоторого целого числа q . Это решает первое условие. Во-вторых, требуется, чтобы D + Y было треугольным числом :

$D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.$

Решение для t ,

$t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.$

Подставив значение D + Y и k и найдя значение q ² такой, что дискриминант этого квадратичного уравнения представляет собой полный квадрат p ² влечет за собой решение уравнения Пелля

$p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.$

Подход Амтора, обсуждавшийся в предыдущем разделе, заключался, по сути, в поиске наименьшего $v$ такая, что она делится целочисленно на $2\times 4657$. Фундаментальное решение этого уравнения имеет более 100 000 десятичных цифр.

Дальнейшее чтение

• Белл, AH (1895), «Проблема крупного рогатого скота». Архимедия, 251 г. до н. э., The American Mathematical Monthly , 2 (5), Mathematical Association of America: 140–141, doi : 10.2307/2968125 , JSTOR   2968125
• Дорри, Генрих (1965). « Проблема Архимеда Бовинум ». 100 великих задач элементарной математики . Дуврские публикации . стр. 3–7.
• Уильямс, ХК; Герман, РА; Зарнке, ЧР (1965). «Решение Архимедовой задачи о скоте» . Математика вычислений . 19 (92). Американское математическое общество : 671–674. дои : 10.2307/2003954 . JSTOR   2003954 .
• Варди, И. (1998). «Задача Архимеда о скоте». Американский математический ежемесячник . 105 (4). Математическая ассоциация Америки: 305–319. дои : 10.2307/2589706 . JSTOR   2589706 .
• Бенсон, Г. (2014). «Поэт Архимед: общие инновации и математическая фантазия в проблеме крупного рогатого скота». Аретуза . 47 (2). Издательство Университета Джонса Хопкинса : 169–196. дои : 10.1353/are.2014.0008 . S2CID   162393743 .

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A096151 (десятичное расширение 206545-значного целочисленного решения задачи Архимеда о скоте) — полное десятичное решение второй задачи.
• Алекс Беллос . «Святая корова, это большое число» (видео) . Ютуб . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 19 декабря 2021 г. Проверено 25 ноября 2019 г.