Мост ослов

В геометрии теорема о том, что углы, лежащие против равных сторон равнобедренного треугольника, сами равны, известна как pons asinorum ( / ˈ p ɒ n z ˌ æ s ɪ ˈ n ɔːr ə m / PONZ ass-i- NOR -əm ), на латыни «мост ослов », или, более описательно, как теорема о равнобедренном треугольнике . Теорема появляется как предложение 5 книги 1 в Евклида » «Началах . : Верно и обратное если два угла треугольника равны , то равны и противолежащие им стороны.

Pons asinorum также используется метафорически для обозначения проблемы или задачи, которая служит проверкой критического мышления , имея в виду способность «ослиного моста» разделять способных и неспособных рассуждать. Первое известное его использование в этом контексте было в 1645 году. ^[1]

Этимология [ править ]

Есть два распространенных объяснения названия pons asinorum , самое простое из которых состоит в том, что используемая диаграмма напоминает физический мост . Но более популярное объяснение состоит в том, что это первая настоящая проверка «Элементов интеллекта » читателя, которая служит «мостом» к последующим более сложным утверждениям. ^[2]

Другим средневековым термином для теоремы о равнобедренном треугольнике был Элефуга , который, по мнению Роджера Бэкона , происходит от греческого elegia «страдание» и латинского fuga «бегство», то есть «бегство несчастных». Хотя эта этимология сомнительна, она перекликается с использованием Чосером термина «флеминг негодяев» для обозначения теоремы. ^[3]

Название Дулькарнон было дано 47-му предложению Книги I Евклида, более известному как теорема Пифагора , в честь арабского слова Dhū 'l qarnain ذُو ٱلْقَرْنَيْن, что означает «обладатель двух рогов», потому что на диаграммах теоремы показаны два меньших размера. квадраты, похожие на рога, в верхней части фигуры. Этот термин также использовался как метафора дилеммы. ^[3] Само название pons asinorum иногда применялось к теореме Пифагора. ^[4]

Предположительно, Гаусс однажды предположил, что понимание личности Эйлера может сыграть аналогичную роль в качестве ориентира, указывающего, может ли кто-то стать первоклассным математиком. ^[5]

Доказательства [ править ]

Евклид и Прокл [ править ]

Утверждение Евклида о pons asinorum включает второй вывод о том, что если равные стороны треугольника продолжены ниже основания, то углы между продолжениями и основанием также равны. Евклида Доказательство включает в себя проведение вспомогательных линий к этим расширениям. Но, как указывает комментатор Евклида Прокл , Евклид никогда не использует второй вывод, и его доказательство можно несколько упростить, проведя вместо этого вспомогательные линии к сторонам треугольника, а остальная часть доказательства проводится более или менее таким же образом.

Было много спекуляций и споров относительно того, почему Евклид добавил к теореме второй вывод, ведь это усложняет доказательство. Одно из правдоподобных объяснений, данное Проклом, состоит в том, что второй вывод может быть использован при возможных возражениях против доказательств более поздних утверждений, в которых Евклид не охватывает все случаи. ^[6] Доказательство в значительной степени опирается на то, что сегодня называется стороной-уголом-стороной (SAS), предыдущим утверждением в « Элементах» , в котором говорится, что для данных двух треугольников, у которых две пары соответствующих сторон и включенных в них углов соответственно конгруэнтны , тогда треугольники равны конгруэнтный.

Вариант доказательства Евклида, предложенный Проклом, выглядит следующим образом: ^[7] Позволять $\triangle ABC$ быть равнобедренным треугольником с равными сторонами $AB\cong AC$ . Выберите произвольную точку $D$ вдоль стороны $AB$ а затем построить точку $E$ на $AC$ сделать равные сегменты $AD\cong AE$ . Нарисуйте вспомогательные отрезки линий $BE$ , $DC$ , и $DE$ . По стороне-углу-стороне треугольники $\triangle BAE\cong \triangle CAD$ . Поэтому $\angle ABE\cong \angle ACD$ , $\angle ADC\cong \angle AEB$ , и $BE\cong CD$ . Вычитая равные отрезки прямой, $BD\cong CE$ . Это создает еще одну пару равных треугольников: $\triangle DBE\cong \triangle ECD$ , опять же по стороне-углу-стороне. Поэтому $\angle BDE\cong \angle CED$ и $\angle BED\cong \angle CDE$ . Вычитая равные углы, $\angle BDC\cong \angle CEB$ . Окончательно $\triangle BDC\cong \triangle CEB$ третьим применением стороны-угла-стороны. Поэтому $\angle CBD\cong \angle BCE$ , что и предстояло доказать.

Папп [ править ]

Прокл дает гораздо более короткое доказательство, приписываемое Паппу Александрийскому . Это не только проще, но и вообще не требует никакой дополнительной конструкции. Метод доказательства заключается в применении стороны-угла-стороны к треугольнику и его зеркальному изображению. Более современные авторы, подражая методу доказательства, данному для предыдущего утверждения, описали это как взятие треугольника, его переворачивание и укладывание на себя. ^[8]^[9]Этот метод высмеивается Чарльзом Доджсоном в книге «Евклид и его современные соперники » , называя его « ирландским быком », поскольку он, очевидно, требует, чтобы треугольник находился в двух местах одновременно. ^[10]

Доказательство следующее: ^[11] Пусть ABC — равнобедренный треугольник, у которого AB и AC — равные стороны. Рассмотрим треугольники ABC и ACB , где ACB считается вторым треугольником с вершинами A , C и B, соответствующими соответственно A , B и C в исходном треугольнике. $\angle A$ равно самому себе, AB = AC и AC = AB , поэтому по стороне-углу-стороне треугольники ABC и ACB равны. В частности, $\angle B=\angle C$ . ^[12]

Другие [ править ]

построить биссектрису угла A. Стандартный метод учебника — ^[13] Это проще, чем доказательство Евклида, но Евклид не представляет конструкцию биссектрисы до предложения 9. Таким образом, порядок изложения предложений Евклида пришлось бы изменить, чтобы избежать возможности круговых рассуждений.

Доказательство проводится следующим образом: ^[14] Как и раньше, пусть треугольник будет ABC с AB = AC . Построить биссектрису угла $\angle BAC$ и расширим его так, чтобы он встретился BC в точке X. с AB = AC и AX равен самому себе. Более того, $\angle BAX=\angle CAX$ , поэтому, применяя сторону-угол-сторону, треугольники BAX и треугольник CAX конгруэнтны. Отсюда следует, что углы В и С равны.

Лежандр использует аналогичную конструкцию в «Элементах геометрии» , но принимает X за середину BC . ^[15] Доказательство аналогично, но вместо стороны - угла-стороны следует использовать сторону-сторону-сторону, а Евклид дает слово сторона-сторона только позже в « Началах» .

В 1876 году, будучи членом Конгресса США , будущий президент Джеймс А. Гарфилд разработал доказательство с использованием трапеции, которое было опубликовано в журнале New England Journal of Education . ^[16] Историк математики Уильям Данэм писал, что работа Гарфилда о трапециях была «действительно очень умным доказательством». ^[17] По данным журнала , Гарфилд пришел к доказательству «в результате математических развлечений и дискуссий с другими членами конгресса». ^[18]

Во внутренних пространствах продукта [ править ]

Теорема о равнобедренном треугольнике справедлива в пространствах внутреннего произведения над действительными или комплексными числами . В таких пространствах для векторов x , y и z теорема гласит, что если $x+y+z=0$ и $\|x\|=\|y\|,$ затем $\|x-z\|=\|y-z\|.$

С $\|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2}$ и $x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta ,$ где θ - угол между двумя векторами, вывод этой внутренней формы продукта теоремы эквивалентен утверждению о равенстве углов.

Метафорическое употребление [ править ]

Использование pons asinorum в качестве метафоры для проверки критического мышления включает:

Ричарда Онгервилля XIV века В «Филобилоне» есть отрывок: «Ученики Евклида были отброшены Элефугой как выступающая и отвесная скала, на которую невозможно взобраться по лестнице! Они говорят, что их речь тяжела; кто может его услышать?» ?», в котором теорема сравнивается с крутым обрывом, на который не может подняться никакая лестница, и задается вопросом, сколько потенциальных геометров было отвергнуто. ^[3]
Термин pons asinorum , как в значении моста, так и в значении теста, используется как метафора для поиска среднего термина силлогизма . ^[3]
Поэт 18-го века Томас Кэмпбелл написал юмористическое стихотворение под названием «Pons asinorum», в котором класс геометрии подвергает сомнению теорему, как рота солдат может атаковать крепость; бой не обошёлся без жертв. ^[19]
Экономист Джон Стюарт Милль назвал Рикардо закон ренты pons asinorum экономики. ^[20]
Финское непоследовательностью aasinsilta и шведское åsnebrygga — это литературный прием, в котором тонкая, даже надуманная связь между двумя аргументами или темами, которая почти, но не совсем, является , используется в качестве неловкого перехода между ними. В серьезном тексте это считается стилистической ошибкой, поскольку оно принадлежит собственно стилю потока сознания или причинному письму. Типичными примерами являются завершение раздела рассказом о том, о чем будет следующий раздел, не удосуживаясь объяснить, почему эти темы связаны между собой, расширение случайного упоминания до подробного описания или обнаружение надуманной связи между темами (например: «Мы купили немного красного вина». ; кстати о красных жидкостях, завтра Всемирный день донора крови»).
На голландском языке ezelsbruggetje ( слово «маленький ослиный мост») — это мнемоническое . То же самое относится и к немецкому Эзельсбрюке .
В чешском языке oslí můstek имеет два значения: оно может обозначать либо надуманную связь между двумя темами, либо мнемонику.

искусственного интеллекта Миф о доказательстве

В устойчивом математическом фольклоре утверждается, что программа искусственного интеллекта нашла оригинальное и более элегантное доказательство этой теоремы. ^[21]^[22] Фактически, Марвин Мински вспоминает, что он заново открыл доказательство Паппуса (о котором он не знал), моделируя то, что могло бы сделать механическое средство доказательства теорем. ^[23]^[9]

Примечания [ править ]

^ «Ослиный мост» . Словарь Merriam-Webster.com .
^ Д. Э. Смит. История математики (1958, Дувр), с. 284
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д А. Ф. Уэст и Х. Д. Томпсон «О Dulcarnon, Elefuga и Pons Asinorum как причудливых названиях для геометрических предложений», Бюллетень Принстонского университета, том. 3 № 4 (1891) с. 84
^ Смит, Дэвид Юджин (1925). История математики . Том. 2. Джинн и Ко. с. 284, сноска 1.
^ Дербишир, Джон (2003). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики . 500 Пятая улица, Северо-Запад, Вашингтон, округ Колумбия, 20001: Джозеф Генри Пресс. п. 202 . ISBN 0-309-08549-7 . первоклассный математик. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Хит, стр. 251–255.
^ Следуя Проклу с. 53
^ Например, Ф. Катбертсон Букварь по геометрии (Оксфорд, 1876 г.), с. 7
^ Jump up to: ^а ^б Майкл А.Б. Дикин, «От Паппа до наших дней: история доказательства», The Mathematical Gazette 74 :467:6-11 (март 1990 г.) JSTOR 3618841
^ Чарльз Лютвидж Доджсон, Евклид и его современные соперники, акт I, сцена II, §6
^ Следуя Проклу с. 54
^ Хит стр. 254 для раздела
^ Например, Дж. М. Уилсон. Элементарная геометрия (Оксфорд, 1878 г.), с. 20
^ По следам Уилсона
^ А.М. Лежандр Элементы геометрии (Libr. de Firmin-Didot et Cie, 1876 г.), с. 14
^ Г., Ж.А. (1876). «Понс Асинорум» . Образовательный журнал Новой Англии . 3 (14): 161. ISSN 2578-4145 . JSTOR 44764657 .
^ Данэм, Уильям (1994). Математическая Вселенная: путешествие по алфавиту через великие доказательства, проблемы и личности . Уайли и сыновья. п. 99 . Бибкод : 1994muaa.book.....D . ISBN 9780471536567 .
^ Колпас, Сид Дж. «Математическое сокровище: доказательство Гарфилдом теоремы Пифагора» . Математический доц. Америки. Архивировано из оригинала 6 декабря 2021 года . Проверено 22 декабря 2021 г.
^ МЫ Айтун (Ред.) Поэтические произведения Томаса Кэмпбелла (1864, Литтл, Браун) с. 385 Google книг
^ Джона Стюарта Милля Принципы политической экономии (1866: Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер), Книга 2, Глава 16, стр. 261
^ Яакко Хинтикка, «О творчестве в рассуждении», в книге Аке Э. Андерссон, Н. Е. Сахлин, ред., « Сложность творчества» , 2013, ISBN 9401587884 , с. 72
^ А. Баттерсби, Математика в менеджменте , 1966, цитируется по Дикину.
^ Джереми Бернштейн, «Профили: ИИ» (интервью с Марвином Мински), The New Yorker , 14 декабря 1981 г., стр. 50-126

Ссылки [ править ]

Евклид, комментарии и пер. от TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
Евклид, комментарий Прокла , изд. и транс. Т. Тейлор Элементс Том. 2 (1789 г.) Google Книги

Внешние ссылки [ править ]

[1] «Ослиный мост» . Словарь Merriam-Webster.com .

[2] Д. Э. Смит. История математики (1958, Дувр), с. 284

[PUb-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д А. Ф. Уэст и Х. Д. Томпсон «О Dulcarnon, Elefuga и Pons Asinorum как причудливых названиях для геометрических предложений», Бюллетень Принстонского университета, том. 3 № 4 (1891) с. 84

[4] Смит, Дэвид Юджин (1925). История математики . Том. 2. Джинн и Ко. с. 284, сноска 1.

[First-Class-5] Дербишир, Джон (2003). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики . 500 Пятая улица, Северо-Запад, Вашингтон, округ Колумбия, 20001: Джозеф Генри Пресс. п. 202 . ISBN 0-309-08549-7 . первоклассный математик. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[6] Хит, стр. 251–255.

[7] Следуя Проклу с. 53

[8] Например, Ф. Катбертсон Букварь по геометрии (Оксфорд, 1876 г.), с. 7

[deakin-9] Jump up to: ^а ^б Майкл А.Б. Дикин, «От Паппа до наших дней: история доказательства», The Mathematical Gazette 74 :467:6-11 (март 1990 г.) JSTOR 3618841

[10] Чарльз Лютвидж Доджсон, Евклид и его современные соперники, акт I, сцена II, §6

[11] Следуя Проклу с. 54

[12] Хит стр. 254 для раздела

[13] Например, Дж. М. Уилсон. Элементарная геометрия (Оксфорд, 1878 г.), с. 20

[14] По следам Уилсона

[15] А.М. Лежандр Элементы геометрии (Libr. de Firmin-Didot et Cie, 1876 г.), с. 14

[16] Г., Ж.А. (1876). «Понс Асинорум» . Образовательный журнал Новой Англии . 3 (14): 161. ISSN 2578-4145 . JSTOR 44764657 .

[17] Данэм, Уильям (1994). Математическая Вселенная: путешествие по алфавиту через великие доказательства, проблемы и личности . Уайли и сыновья. п. 99 . Бибкод : 1994muaa.book.....D . ISBN 9780471536567 .

[18] Колпас, Сид Дж. «Математическое сокровище: доказательство Гарфилдом теоремы Пифагора» . Математический доц. Америки. Архивировано из оригинала 6 декабря 2021 года . Проверено 22 декабря 2021 г.

[19] МЫ Айтун (Ред.) Поэтические произведения Томаса Кэмпбелла (1864, Литтл, Браун) с. 385 Google книг

[20] Джона Стюарта Милля Принципы политической экономии (1866: Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер), Книга 2, Глава 16, стр. 261

[21] Яакко Хинтикка, «О творчестве в рассуждении», в книге Аке Э. Андерссон, Н. Е. Сахлин, ред., « Сложность творчества» , 2013, ISBN 9401587884 , с. 72

[22] А. Баттерсби, Математика в менеджменте , 1966, цитируется по Дикину.

[23] Джереми Бернштейн, «Профили: ИИ» (интервью с Марвином Мински), The New Yorker , 14 декабря 1981 г., стр. 50-126

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]