Луна Гиппократа
В геометрии луна Гиппократа , названная в честь Гиппократа Хиосского , представляет собой луну, ограниченную дугами двух кругов , меньший из которых имеет в качестве диаметра хорду, охватывающую прямой угол на большем круге. Эквивалентно, это невыпуклая плоская область, ограниченная одной дугой окружности со стороной 180 градусов и одной дугой окружности со стороной 90 градусов. Это была первая изогнутая фигура, точная площадь которой была рассчитана математически. [1]
История [ править ]
Гиппократ хотел решить классическую задачу квадратуры круга квадрат , т.е. построить с помощью линейки и циркуля , имеющий ту же площадь, что и данный круг . [2] [3] Он доказал, что луна, ограниченная на дугами, обозначенными E и F, рисунке имеет ту же площадь, что и треугольник ABO . Это давало некоторую надежду на решение задачи о квадратуре круга, поскольку луна ограничена только дугами окружностей. Хит заключает, что, доказывая свой результат, Гиппократ также был первым, кто доказал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. [2]
Книга Гиппократа по геометрии, в которой появляется этот результат, «Начала », была утеряна, но, возможно, послужила моделью для Евклида » «Начал . [3] Доказательство Гиппократа сохранилось в « Истории геометрии», составленной Евдемом Родосским , которая также не сохранилась, но была взята Симплицием Киликийским в его комментарии к Аристотеля » «Физике . [2] [4]
Лишь в 1882 году, когда Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность числа π , квадратура круга оказалась невозможной. [5]
Доказательство [ править ]
Результат Гиппократа можно доказать следующим образом: Центром окружности, на которой лежит дуга AEB , является точка D , которая является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника ABO . Следовательно, диаметр AC большей окружности ABC равен раз больше диаметра меньшего круга, на котором лежит дуга AEB . Следовательно, меньший круг имеет половину площади большего круга, и поэтому четверть круга AFBOA по площади равна полукругу AEBDA . в форме полумесяца Вычитание площади AFBDA из четверти круга дает треугольник ABO , а вычитание того же полукруга из полукруга дает луну. Поскольку треугольник и луна образованы вычитанием равных площадей из равной площади, они сами по себе равны по площади. [2] [6]
Обобщения [ править ]
Используя доказательство, аналогичное приведенному выше, арабский математик Хасан ибн аль-Хайсам (латинизированное имя Альхазен , ок. 965 — ок. 1040) показал, что там, где образуются две луны, на двух сторонах прямоугольного треугольника , внешние границы которого являются полукругами и внутренние границы которых образованы описанной окружностью треугольника, то сложенные вместе площади этих двух лун равны площади треугольника. Луны, образованные таким образом из прямоугольного треугольника, известны как луны Альхазена . [7] [8] Квадратура луны Гиппократа является частным случаем этого результата для равнобедренного прямоугольного треугольника . [9]
Все лунки, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, можно определить с помощью двух углов, образованных внутренней и внешней дугами соответствующих кругов; в этом обозначении, например, луна Гиппократа имела бы внутренний и внешний углы (90°, 180°) с соотношением 1:2. Гиппократ нашел еще два квадратных вогнутых полумесяца с углами примерно (107,2°, 160,9°) с соотношением 2:3 и (68,5°, 205,6°) с соотношением 1:3. Еще две квадратные вогнутые лунки с углами примерно (46,9°, 234,4°) с соотношением 1:5 и (100,8°, 168,0°) с соотношением 3:5 были найдены в 1766 году Мартином Йоханом Валлениусом и снова в 1840 году Томас Клаузен . В середине 20 века два русских математика, Николай Чеботарёв и его ученик Анатолий Дороднов, полностью классифицировали луны, которые можно построить с помощью циркуля и линейки и которые имеют площадь, равную данному квадрату. Как показали Чеботарёв и Дороднов, эти пять пар углов дают единственные конструктивные квадратурные лунки; в частности, не существует других конструктивных квадратных лунок. [1] [8]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Постников, М.М. (2000), «Проблема квадратных лун», American Mathematical Monthly , 107 (7): 645–651, doi : 10.2307/2589121 , JSTOR 2589121 . Перевод из русской книги Постникова 1963 года по теории Галуа .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Хит, Томас Л. (2003), Руководство по греческой математике , Courier Dover Publications, стр. 121–132, ISBN 0-486-43231-9 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Гиппократ Хиосский» , Британская энциклопедия , 2012 г. , получено 12 января 2012 г.
- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гиппократ Хиосский» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ Джейкобс, Конрад (1992), «2.1 квадратура круга», Приглашение к математике , Princeton University Press, стр. 11–13, ISBN 978-0-691-02528-5 .
- ^ Бунт, Лукас Николаас Хендрик; Джонс, Филипп С.; Бедьен, Джек Д. (1988), «4-2 Гиппократ Хиосский и квадратура лун», Исторические корни элементарной математики , Courier Dover Publications, стр. 90–91, ISBN 0-486-25563-8 .
- ↑ Квадратура Луны Гиппократа в разрезанном узле , по состоянию на 12 января 2012 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), «9.1 Квадратные луны», Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , Математические пояснения Дольчиани, том. 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 137–144, ISBN. 978-0-88385-348-1 .
- ^ Англин, WS (1994), «Гиппократ и Луны», Математика, краткая история и философия , Springer, стр. 51–53, ISBN 0-387-94280-7 .
