Метод истощения
Метод исчерпания ( лат. : methodus исчерпание ) — метод нахождения площади фигуры сходятся путем вписывания в нее многоугольников , площади которых . к площади содержащей фигуры последовательности Если последовательность построена правильно, разница в площади между n- м многоугольником и содержащей его фигурой станет сколь угодно малой по мере того, как n станет большим. Поскольку эта разница становится сколь угодно малой, возможные значения площади фигуры систематически «исчерпаются» областями нижней границы, последовательно установленными членами последовательности.
Метод исчерпания обычно требует формы доказательства от противного , известной как доведение до абсурда . Это равносильно нахождению площади региона путем сначала сравнения ее с площадью второго региона, которую можно «исчерпать», так что ее площадь станет сколь угодно близкой к истинной площади. Доказательство включает в себя предположение, что истинная площадь больше второй области, доказательство того, что утверждение ложно, предположение, что она меньше второй области, а затем также доказательство того, что утверждение ложно.
История [ править ]
Идея возникла в конце V века до нашей эры у Антифонта , хотя не совсем ясно, насколько хорошо он ее понимал. [1] Несколько десятилетий спустя теория была уточнена Евдоксом Книдским , который использовал ее для расчета площадей и объемов. Позже он был заново изобретен в Китае в Лю Хуэем III веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. [2] Первое использование этого термина было в 1647 году Григорием Сент-Винсентским в Opus геометрическом квадратуре circuli etsectionum .
Метод исчерпания рассматривается как предшественник методов исчисления . Развитие аналитической геометрии и строгого интегрального исчисления в 17-19 веках привело к тому, что метод исчерпания стал более явным для решения задач. Важным альтернативным подходом был принцип Кавальери , также называемый методом неделимых , который в конечном итоге превратился в бесконечно малых исчисление Роберваля , Торричелли , Уоллиса , Лейбница и других.
Евклид [ править ]
Евклид использовал метод исчерпывания, чтобы доказать следующие шесть положений в 12-й книге своих «Начал» .
Утверждение 2 : Площадь кругов пропорциональна квадрату их диаметров. [3]
Предложение 5 : Объемы двух тетраэдров одинаковой высоты пропорциональны площадям их треугольных оснований. [4]
Предложение 10 : Объем конуса составляет треть объема соответствующего цилиндра, имеющего то же основание и высоту. [5]
Предложение 11 : Объем конуса (или цилиндра) одинаковой высоты пропорционален площади основания. [6]
Предложение 12. Объем конуса (или цилиндра), подобного другому, пропорционален кубу отношения диаметров оснований. [7]
Утверждение 18 : Объем сферы пропорционален кубу ее диаметра. [8]
Архимед [ править ]
Архимед использовал метод исчерпания как способ вычисления площади внутри круга, заполняя круг последовательностью многоугольников с увеличивающимся числом сторон и соответствующим увеличением площади. Частные, образованные площадью этих многоугольников, разделенной на квадрат радиуса круга, можно сделать сколь угодно близкими к π, поскольку количество сторон многоугольника становится большим, доказывая, что площадь внутри круга радиуса r равна πr. 2 , π определяется как отношение длины окружности к диаметру (C/d).
Он также предоставил границы 3 + 10 / 71 < π < 3 + 10 / 70 , (что дает диапазон 1 / 497 ) путем сравнения периметров круга с периметрами вписанных и описанных 96 -сторонних правильных многоугольников.
Другие результаты, которые он получил с помощью метода истощения, включали [9]
- Площадь, ограниченная пересечением прямой и параболы, составляет 4/3 площади треугольника, имеющего то же основание и высоту ( квадратура параболы );
- Площадь эллипса пропорциональна прямоугольнику, стороны которого равны его большой и малой осям;
- Объем шара в 4 раза больше объема конуса, имеющего основание того же радиуса и высоту, равную этому радиусу;
- Объем цилиндра, высота которого равна его диаметру, составляет 3/2 объема сферы того же диаметра;
- Площадь, ограниченная одним вращением спирали и линией, составляет 1/3 площади круга, радиус которого равен длине отрезка линии;
- Использование метода исчерпывания также привело к успешному вычислению бесконечной геометрической прогрессии (впервые);
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ «Антифон (480–411 гг. до н. э.)» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk .
- ^ Дун, Лю. 1966. « Сравнение исследований кругов Архимедом и Лю Хуэем ». Стр. 279–87 в китайских исследованиях по истории и философии науки и техники 179, под редакцией Д. Фана и Р. С. Коэна. Академическое издательство Kluwer . ISBN 0-7923-3463-9 . стр. 279.
- ^ «Начала Евклида, книга XII, предложение 2» . aleph0.clarku.edu .
- ^ «Начала Евклида, книга XII, предложение 5» . aleph0.clarku.edu .
- ^ «Начала Евклида, книга XII, предложение 10» . aleph0.clarku.edu .
- ^ «Начала Евклида, книга XII, предложение 11» . aleph0.clarku.edu .
- ^ «Начала Евклида, книга XII, предложение 12» . aleph0.clarku.edu .
- ^ «Начала Евклида, книга XII, предложение 18» . aleph0.clarku.edu .
- ^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8 .
