Неравенство Птолемея

В евклидовой геометрии неравенство Птолемея связывает шесть расстояний, определяемых четырьмя точками на плоскости или в многомерном пространстве. Он утверждает, что для любых четырех точек $A$ , $B$ , $C$ и $D$ выполняется следующее неравенство :

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.

Он назван в честь греческого астронома и математика Птолемея .

Четыре точки можно расположить любым из трех различных способов (считая развороты неразличимыми), чтобы сформировать три разных четырехугольника , для каждого из которых сумма произведений противоположных сторон не менее велика, чем произведение диагоналей. Таким образом, три члена произведения в неравенстве можно аддитивно переставить, чтобы поместить любой из них в правую часть неравенства, поэтому три произведения противоположных сторон или диагоналей любого из четырехугольников должны подчиняться неравенству треугольника . ^{[ 1 ]}

В качестве частного случая теорема Птолемея утверждает, что неравенство становится равенством, когда четыре точки лежат в циклическом порядке на окружности . Другой случай равенства возникает, когда четыре точки лежат на одной прямой. Неравенство не обобщается с евклидовых пространств на произвольные метрические пространства . Пространства, в которых оно остается действительным, называются пространствами Птолемея ; они включают пространства внутреннего произведения , пространства Адамара и кратчайшего пути расстояния на графах Птолемея .

Предположения и вывод

Неравенство Птолемея часто формулируется для частного случая, когда четыре точки являются четырехугольника , вершинами выпуклого заданного в циклическом порядке. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Однако в более общем смысле теорема применима к любым четырем точкам; не требуется, чтобы образуемый ими четырехугольник был выпуклым, простым или даже плоским.

Для точек на плоскости неравенство Птолемея можно вывести из неравенства треугольника путем инверсии с центром в одной из четырех точек. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} В качестве альтернативы его можно получить, интерпретируя четыре точки как комплексные числа , используя тождество комплексного числа:

(A-B)(C-D)+(A-D)(B-C)=(A-C)(B-D)

построить треугольник, длины сторон которого являются произведениями сторон данного четырехугольника, и применить к этому треугольнику неравенство треугольника. ^{[ 6 ]} Можно также рассматривать точки как принадлежащие комплексной проективной прямой , выражать неравенство в виде того, что абсолютные значения двух перекрестных отношений точек в сумме дают по крайней мере одно, и вывести это из того факта, что сами перекрестные отношения добавить ровно один. ^{[ 7 ]}

Доказательство неравенства для точек в трехмерном пространстве можно свести к плоскому случаю, заметив, что для любого неплоского четырехугольника можно вращать одну из точек вокруг диагонали до тех пор, пока четырехугольник не станет плоским, увеличивая длину другой диагонали и сохраняя остальные пять расстояний постоянными. ^{[ 6 ]} В пространствах с более высокой размерностью, чем три, любые четыре точки лежат в трехмерном подпространстве, и можно использовать то же трехмерное доказательство.

Четыре конциклические точки

Для четырех точек, расположенных по кругу , неравенство Птолемея становится равенством, известным как теорема Птолемея :

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.

В доказательстве неравенства Птолемея, основанном на инверсии, преобразование четырех сокруговых точек путем инверсии с центром в одной из них приводит к тому, что три других становятся коллинеарными, поэтому равенство треугольника для этих трех точек (из которого можно вывести неравенство Птолемея) также становится равенством. ^{[ 5 ]} По любым остальным четырем пунктам неравенство Птолемея является строгим.

В трех измерениях

Четыре некомпланарные точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ в 3D образуют тетраэдр. В этом случае справедливо строгое неравенство: ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$ . ^{[ 8 ]}

В общих метрических пространствах

Неравенство Птолемея справедливо в более общем смысле в любом пространстве внутреннего продукта : ^{[ 1 ]}^{[ 9 ]} и всякий раз, когда это верно для реального нормированного векторного пространства , это пространство должно быть пространством внутреннего продукта. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Для других типов метрического пространства неравенство может быть действительным, а может и не быть. Пространство, в котором оно имеет место, называется Птолемеевым . Например, рассмотрим граф циклов с четырьмя вершинами , показанный на рисунке, где все длины ребер равны 1. Сумма произведений противоположных сторон равна 2. Однако диагонально противоположные вершины находятся на расстоянии 2 друг от друга, поэтому произведение диагоналей равно 4 и больше суммы произведений сторон. Следовательно, кратчайшие пути в этом графе не являются птолемеевскими. Графы, в которых расстояния подчиняются неравенству Птолемея, называются графами Птолемея и имеют ограниченную структуру по сравнению с произвольными графами; в частности, они запрещают индуцированные циклы длиной более трех, такие как показанный. ^{[ 11 ]}

Пространства Птолемея включают все пространства CAT(0) и, в частности, все пространства Адамара . Если полное риманово многообразие является птолемеевым, оно обязательно является пространством Адамара. ^{[ 12 ]}

Внутренние пространства продукта

Предположим, что $\|\cdot \|$ является нормой векторного пространства $X.$ Тогда эта норма удовлетворяет неравенству Птолемея: $\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.$ тогда и только тогда, когда существует внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на $X$ такой, что $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ для всех векторов $x\in X.$ ^{[ 13 ]} Другим необходимым и достаточным условием существования такого скалярного продукта является соответствие нормы закону параллелограмма : $\|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ for all vectors }}x,y.$ Если это так, то этот внутренний продукт будет уникальным, и его можно будет определить в терминах нормы, используя тождество поляризации .

См. также

Греческая математика - Математика древних греков
Закон параллелограмма : сумма квадратов четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов двух диагоналей.
Поляризационная идентичность - формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта.
Птолемей – римский математик, астроном, географ II века.
Таблица аккордов Птолемея - тригонометрическая таблица II века нашей эры.
Теорема Птолемея - связывает 4 стороны и 2 диагонали четырехугольника с вершинами на общей окружности.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Шёнберг, И.Дж. (1940), «О метрических дугах исчезающей кривизны Менгера», Annals of Mathematics , Second Series, 41 (4): 715–726, doi : 10.2307/1968849 , JSTOR 1968849 , MR 0002903 .
^ Стил, Дж. Майкл (2004), «Упражнение 4.6 (Неравенство Птолемея)» , Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств , сборники задач MAA, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775 .
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009), «6.1 Неравенство Птолемея» , Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Математическая ассоциация Америки, стр. 82–83, ISBN. 9780883853429 .
^ Апостол (1967) приписывает доказательство, основанное на инверсии, учебникам Р. А. Джонсона (1929) и Говарда Ивса (1963).
^ Jump up to: ^а ^б Станкова, Звезделина ; Райк, Том, ред. (2008), «Проблема 7 (неравенство Птолемея)» , Десятилетие математического кружка Беркли: американский опыт , Библиотека математических кружков MSRI, том. 1, Американское математическое общество, с. 18, ISBN 9780821846834 .
^ Jump up to: ^а ^б Апостол 1967 года .
^ Сильвестр, Джон Р. (2001), «Предложение 9.10 (теорема Птолемея)» , Геометрия: древняя и современная , Oxford University Press, стр. 229, ISBN 9780198508250 .
^ Чжу, Ханлинь (1984). «68,25 Неравенство тетраэдра» . Математический вестник . 68 (445): 200–202. дои : 10.2307/3616345 . ISSN 0025-5572 .
^ Jump up to: ^а ^б Джайлз, младший (2000), «Упражнение 12» , «Введение в анализ нормированных линейных пространств » , серия лекций Австралийского математического общества, том. 13, Издательство Кембриджского университета, с. 47, ISBN 9780521653756 .
^ Шёнберг, И.Дж. (1952), «Замечание о характеристике М.М. Дэя пространств внутреннего продукта и гипотезе Л.М. Блюменталя», Труды Американского математического общества , 3 (6): 961–964, doi : 10.2307/2031742 , JSTOR 2031742 , МР 0052035 .
^ Ховорка, Эдвард (1981), «Характеристика графов Птолемея», Журнал теории графов , 5 (3): 323–331, doi : 10.1002/jgt.3190050314 , MR 0625074 .
^ Бакли, С.М.; Фальк, К.; Рэйт, DJ (2009), «Пространства Птолемея и CAT (0)», Glasgow Mathematical Journal , 51 (2): 301–314, doi : 10.1017/S0017089509004984 , MR 2500753 .
^ Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика» . Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275 . JSTOR 2688275 . МР 0225213 .

[s40-1] Jump up to: ^а ^б Шёнберг, И.Дж. (1940), «О метрических дугах исчезающей кривизны Менгера», Annals of Mathematics , Second Series, 41 (4): 715–726, doi : 10.2307/1968849 , JSTOR 1968849 , MR 0002903 .

[2] Стил, Дж. Майкл (2004), «Упражнение 4.6 (Неравенство Птолемея)» , Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств , сборники задач MAA, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775 .

[3] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009), «6.1 Неравенство Птолемея» , Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Математическая ассоциация Америки, стр. 82–83, ISBN. 9780883853429 .

[4] Апостол (1967) приписывает доказательство, основанное на инверсии, учебникам Р. А. Джонсона (1929) и Говарда Ивса (1963).

[bmc-5] Jump up to: ^а ^б Станкова, Звезделина ; Райк, Том, ред. (2008), «Проблема 7 (неравенство Птолемея)» , Десятилетие математического кружка Беркли: американский опыт , Библиотека математических кружков MSRI, том. 1, Американское математическое общество, с. 18, ISBN 9780821846834 .

[FOOTNOTEApostol1967-6] Jump up to: ^а ^б Апостол 1967 года .

[7] Сильвестр, Джон Р. (2001), «Предложение 9.10 (теорема Птолемея)» , Геометрия: древняя и современная , Oxford University Press, стр. 229, ISBN 9780198508250 .

[8] Чжу, Ханлинь (1984). «68,25 Неравенство тетраэдра» . Математический вестник . 68 (445): 200–202. дои : 10.2307/3616345 . ISSN 0025-5572 .

[nls-9] Jump up to: ^а ^б Джайлз, младший (2000), «Упражнение 12» , «Введение в анализ нормированных линейных пространств » , серия лекций Австралийского математического общества, том. 13, Издательство Кембриджского университета, с. 47, ISBN 9780521653756 .

[10] Шёнберг, И.Дж. (1952), «Замечание о характеристике М.М. Дэя пространств внутреннего продукта и гипотезе Л.М. Блюменталя», Труды Американского математического общества , 3 (6): 961–964, doi : 10.2307/2031742 , JSTOR 2031742 , МР 0052035 .

[11] Ховорка, Эдвард (1981), «Характеристика графов Птолемея», Журнал теории графов , 5 (3): 323–331, doi : 10.1002/jgt.3190050314 , MR 0625074 .

[12] Бакли, С.М.; Фальк, К.; Рэйт, DJ (2009), «Пространства Птолемея и CAT (0)», Glasgow Mathematical Journal , 51 (2): 301–314, doi : 10.1017/S0017089509004984 , MR 2500753 .

[13] Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика» . Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275 . JSTOR 2688275 . МР 0225213 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

v т и Древнегреческая астрономия
Astronomers	Aglaonice Agrippa Anaximander Andronicus Apollonius Aratus Aristarchus Aristyllus Attalus Autolycus Bion Callippus Cleomedes Cleostratus Conon Eratosthenes Euctemon Eudoxus Geminus Heraclides Hicetas Hipparchus Hippocrates of Chios Hypsicles Menelaus Meton Oenopides Philip of Opus Philolaus Posidonius Ptolemy Pytheas Seleucus Sosigenes of Alexandria Sosigenes the Peripatetic Strabo Thales Theodosius Theon of Alexandria Theon of Smyrna Timocharis
Works	Almagest (Ptolemy) Catasterismi (Eratosthenes) On Sizes and Distances (Hipparchus) On the Sizes and Distances (Aristarchus) On the Heavens (Aristotle)
Instruments	Antikythera mechanism Armillary sphere Astrolabe Dioptra Equatorial ring Gnomon Mural instrument Triquetrum
Concepts	Callippic cycle Celestial spheres Circle of latitude Counter-Earth Deferent and epicycle Equant Geocentrism Heliocentrism Hipparchic cycle Inferior and superior planets Metonic cycle Octaeteris Solstice Spherical Earth Sublunary sphere Zodiac
Influences	Babylonian astronomy Egyptian astronomy
Influenced	Medieval European science Indian astronomy Medieval Islamic astronomy