Закон параллелограмма

В математике простейшая форма закона параллелограмма (называемая также тождеством параллелограмма ) принадлежит элементарной геометрии . Он гласит, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Для сторон мы используем следующие обозначения: AB , BC , CD , DA . Но поскольку в евклидовой геометрии противоположные стороны параллелограмма обязательно равны, то есть AB = CD и BC = DA , закон можно сформулировать как

2(A\_B)^{2}+2(B\_C)^{2}=(A\_C)^{2}+(B\_D)^{2}\,

Если параллелограмм — прямоугольник , то две диагонали имеют одинаковую длину AC = BD , поэтому

2(A\_B)^{2}+2(B\_C)^{2}=2(A\_C)^{2}

и утверждение сводится к теореме Пифагора . Для общего четырехугольника (с четырьмя сторонами не обязательно равными) теорема Эйлера о четырехугольнике утверждает:

AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},

где

x

— длина отрезка, соединяющего середины диагоналей . Из схемы видно, что

x=0

для параллелограмма, поэтому общая формула упрощается до закона параллелограмма.

Доказательство [ править ]

В параллелограмме справа пусть AD = BC = a , AB = DC = b , $\angle BAD=\alpha .$ Используя закон косинусов в треугольнике $\triangle BAD,$ мы получаем:

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.

В параллелограмме смежные углы являются дополнительными , поэтому $\angle ADC=180^{\circ }-\alpha .$ Используя закон косинусов в треугольнике $\triangle ADC,$ производит:

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.

Применяя тригонометрическое тождество $\cos(180^{\circ }-x)=-\cos x$ первому результату доказывает:

a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.

Теперь сумма квадратов $BD^{2}+AC^{2}$ может быть выражено как:

BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).

Упрощая это выражение, оно становится:

BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.

Закон параллелограмма во произведений внутренних пространствах

В нормированном пространстве формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы :

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.

Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению:

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y

поскольку обратное неравенство можно получить из него подстановкой

{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}

для

x,

и

{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}

для

y,

а затем упрощаем. При том же доказательстве закон параллелограмма также эквивалентен:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.

В пространстве внутреннего продукта норма определяется с использованием внутреннего продукта :

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .

Как следствие этого определения, в пространстве внутреннего продукта закон параллелограмма представляет собой алгебраическое тождество, легко устанавливаемое с использованием свойств внутреннего продукта:

\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,

\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .

Добавляем эти два выражения:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},

как требуется.

Если $x$ ортогонален $y,$ значение $\langle x,\ y\rangle =0,$ и приведенное выше уравнение для нормы суммы принимает вид:

\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},

что является теоремой Пифагора .

параллелограмма закону Нормированные векторные пространства , удовлетворяющие

Большинство реальных и комплексных нормированных векторных пространств не имеют скалярных произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, обычно используемая норма для вектора $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ в реальном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ это $p$ -норма :

\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.

Учитывая норму, можно оценить обе стороны закона параллелограмма, приведенного выше. Примечателен тот факт, что если справедлив закон параллелограмма, то норма должна возникнуть обычным образом из некоторого скалярного произведения. В частности, это справедливо для $p$ -норма тогда и только тогда, когда $p=2,$ так называемая евклидова норма или стандартная норма. ^[1]^[2]

Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (который обязательно является нормой внутреннего продукта), внутренний продукт, порождающий норму, уникален вследствие идентичности поляризации . В реальном случае тождество поляризации определяется выражением:

\langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},

или эквивалентно

{\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.

В сложном случае это выражается так:

\langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.

Например, используя $p$ -норма с $p=2$ и реальные векторы $x$ и $y,$ Оценка внутреннего продукта происходит следующим образом:

{\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}

что является стандартным скалярным произведением двух векторов.

Другое необходимое и достаточное условие существования внутреннего продукта, индуцирующего данную норму. $\|\cdot \|$ заключается в том, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея : ^[3]

\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.

См. также [ править ]

Коммутативное свойство - свойство некоторых математических операций.
Франсуа Давие – итальянский математик и военный офицер (1734–1798).
Внутреннее пространство продукта – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств
Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
Нормированное векторное пространство - векторное пространство, в котором определено расстояние.
Поляризационная идентичность - формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта.
Неравенство Птолемея

Ссылки [ править ]

^ Кантрелл, Сайрус Д. (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. п. 535. ИСБН 0-521-59827-3 . если p ≠ 2, не существует внутреннего продукта такого, что ${\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$ потому что p -норма нарушает закон параллелограмма.
^ Сакс, Карен (2002). Начало функционального анализа . Спрингер. п. 10. ISBN 0-387-95224-1 .
^ Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика» . Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275 . JSTOR 2688275 .

Внешние ссылки [ править ]

[Pelinovsky-1] Кантрелл, Сайрус Д. (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. п. 535. ИСБН 0-521-59827-3 . если p ≠ 2, не существует внутреннего продукта такого, что ${\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$ потому что p -норма нарушает закон параллелограмма.

[Saxe-2] Сакс, Карен (2002). Начало функционального анализа . Спрингер. п. 10. ISBN 0-387-95224-1 .

[3] Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика» . Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275 . JSTOR 2688275 .

[1]

[2]

[3]

v т Это гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т Это банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics