Теорема Эйлера о четырехугольнике

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

Теорема Эйлера о четырехугольниках или закон Эйлера о четырехугольниках , названный в честь Леонарда Эйлера (1707–1783), описывает связь между сторонами выпуклого четырехугольника и его диагоналями. Это обобщение закона параллелограмма , который, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора . Из-за последнего переформулировку теоремы Пифагора в терминах четырехугольников иногда называют теоремой Эйлера – Пифагора .

Теорема и частные случаи

Для выпуклого четырехугольника со сторонами $a,b,c,d$, диагонали $e$ и $f$, и $g$ будучи отрезком, соединяющим середины двух диагоналей, выполняются следующие уравнения:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

Если четырёхугольник — параллелограмм , то середины диагоналей совпадают так, что соединяющий отрезок $g$ имеет длину 0. Кроме того, параллельные стороны имеют одинаковую длину, поэтому теорема Эйлера сводится к

$2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}$

что является законом параллелограмма.

Если четырехугольник представляет собой прямоугольник , то уравнение еще больше упрощается, поскольку теперь две диагонали также имеют одинаковую длину:

$2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}$

Деление на 2 дает теорему Эйлера – Пифагора:

$a^{2}+b^{2}=e^{2}$

Другими словами, в случае прямоугольника соотношение сторон четырехугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора.

Альтернативная формулировка и расширения

Теорема Эйлера с параллелограммом

Первоначально Эйлер вывел приведенную выше теорему как следствие из немного другой теоремы, которая требует введения дополнительного момента, но дает больше структурного понимания.

Для данного выпуклого четырехугольника $ABCD$ Эйлер ввел дополнительный момент $E$ такой, что $ABED$ образует параллелограмм, и тогда имеет место равенство:

$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}$

Расстояние $|CE|$ между дополнительной точкой $E$ и точка $C$ Если четырехугольник не является частью параллелограмма, то можно считать измерением того, насколько четырехугольник отклоняется от параллелограмма, и $|CE|^{2}$ — это поправочный член, который необходимо добавить к исходному уравнению закона параллелограмма.

$M$ являющийся серединой $AC$ урожайность ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2$. С $N$ это середина $BD$ это также середина $AE$, как $AE$ и $BD$ обе диагонали параллелограмма $ABED$. Это дает ${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2$ и, следовательно, ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$. следует , что Следовательно, из теоремы о пересечении (и ее обратной) $CE$ и $NM$ параллельны и $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$, что дает теорему Эйлера.

Теорему Эйлера можно распространить на больший набор четырехугольников, включая скрещенные и неплоские. Это справедливо для так называемых обобщенных четырехугольников , которые просто состоят из четырех произвольных точек. $\mathbb {R} ^{n}$ соединены ребрами так, что образуют граф циклов .

Ссылки

• Дина Хаунспергер, Стивен Кеннеди: Край Вселенной: празднование десяти лет математических горизонтов . МАА, 2006, ISBN   9780883855553 , стр. 137–139.
• Локенат Дебнат: Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию . Всемирный научный, 2010, ISBN   9781848165267 , стр. 105–107.
• К. Эдвард Сандифер: Как это сделал Эйлер . МАА, 2007, ISBN   9780883855638 , стр. 33–36.
• Джеффри А. Кандалл: Теорема Эйлера для обобщенных четырехугольников . Математический журнал колледжа, Vol. 33, № 5 (ноябрь 2002 г.), стр. 403–404 ( JSTOR )
• Дитмар Херрманн: Древняя математика: история греческой математики, ее проблемы и решения . Спрингер, 2013 г., ISBN   9783642376122 , с. 418

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник» . Математический мир .