Пространство Гротендика

В математике пространство Гротендика , названное в честь Александра Гротендика , является банаховым пространством. $X$ в котором каждая последовательность в ее непрерывном дуальном пространстве $X^{\prime }$ который сходится в топологии слабого* $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ (также известная как топология поточечной сходимости ) также будет сходиться, когда $X^{\prime }$ наделен $\sigma \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right),$ что представляет собой слабую топологию, индуцированную на $X^{\prime }$ по своему бидуалу . Иными словами, пространство Гротендика — это банахово пространство, для которого последовательность в сопряженном с ним пространстве сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится слабо.

Характеристики

Позволять $X$ быть банаховым пространством. Тогда следующие условия эквивалентны:

$X$ является пространством Гротендика,
для любого сепарабельного банахова пространства $Y,$ каждый ограниченный линейный оператор из $X$ к $Y$ слабо компактен , т. е. является образом ограниченного подмножества $X$ является слабо компактным подмножеством $Y.$
для любого слабо компактно порожденного банахова пространства $Y,$ каждый ограниченный линейный оператор из $X$ к $Y$ является слабо компактным .
каждая слабо*-непрерывная функция на двойственном $X^{\prime }$ слабо интегрируемо по Риману.

Примеры

Всякое рефлексивное банахово пространство является пространством Гротендика. И наоборот, следствием теоремы Эберлейна – Шмулиана является то, что сепарабельное пространство Гротендика $X$ должна быть рефлексивной, поскольку тождество с $X\to X$ в этом случае слабо компактна.
К нерефлексивным пространствам Гротендика относится пространство $C(K)$ всех непрерывных функций на стоуновом компакте $K,$ и пространство $L^{\infty }(\mu )$ для положительной меры $\mu$ (стоновский компакт — это хаусдорфов бикомпакт, в котором замыкание любого открытого множества открыто).
Жан Бурген доказал, что пространство $H^{\infty }$ ограниченных голоморфных функций на диске является пространством Гротендика. ^[1]

См. также

Собственность Данфорда-Петтиса

Ссылки

^ Дж. Бургейн, $H^{\infty }$ — пространство Гротендика, Studia Math. , 75 (1983), 193–216.

Дж. Дистель, Геометрия банаховых пространств , Избранные темы, Springer, 1975.
Дж. Дистель, Дж. Дж. Уль: Векторные меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1 .
Шоу, С.-Ю. (2001) [1994], «Пространство Гротендика» , Энциклопедия математики , EMS Press
Хурана, Сурджит Сингх (1991). «Пространства Гротендика, II» . Журнал математического анализа и приложений . 159 (1). Эльзевир Б.В.: 202–207. дои : 10.1016/0022-247x(91)90230-w . ISSN 0022-247X .
Нисар А. Лоун, о слабой интегрируемости по Риману слабых* - непрерывных функций. Средиземноморский математический журнал, 2017.

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Дж. Бургейн, $H^{\infty }$ — пространство Гротендика, Studia Math. , 75 (1983), 193–216.

[1]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category