Коричневое пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство Браунера представляет собой полное компактно порожденное локально выпуклое пространство. $X$ имеющий последовательность компактов $K_{n}$ такой, что любой второй компакт $T\subseteq X$ содержится в каком-то $K_{n}$.

Пространства Браунера названы в честь Калмана Джорджа Браунера , который начал их исследование. Все пространства Браунера являются стереотипными и находятся в стереотипных отношениях двойственности с пространствами Фреше :

• для любого пространства Фреше $X$ это стереотип двойного пространства $X^{\star }$ является пространством Браунера,
• и наоборот, для любого пространства Браунера $X$ это стереотип двойного пространства $X^{\star }$ является пространством Фреше.

Частными случаями пространств Браунера являются пространства Смита .

Примеры

• Позволять $M$ быть $\sigma$-компактное локально компактное топологическое пространство и ${\mathcal {C}}(M)$ пространство Фреше всех непрерывных функций на $M$ (со значениями в ${\mathbb {R} }$ или ${\mathbb {C} }$), наделенный обычной топологией равномерной сходимости на компактах в $M$. Двойное пространство ${\mathcal {C}}^{\star }(M)$ радоновых мер с компактной поддержкой на $M$ с топологией равномерной сходимости на компактах в ${\mathcal {C}}(M)$ является пространством Браунера.
• Позволять $M$ быть гладким многообразием и ${\mathcal {E}}(M)$ пространство Фреше всех гладких функций на $M$ (со значениями в ${\mathbb {R} }$ или ${\mathbb {C} }$), наделенный обычной топологией равномерной сходимости с каждой производной на компактах в $M$. Двойное пространство ${\mathcal {E}}^{\star }(M)$ дистрибутивов с компактной поддержкой в $M$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в ${\mathcal {E}}(M)$ является пространством Браунера.
• Позволять $M$ быть многообразием Штейна и ${\mathcal {O}}(M)$ пространство Фреше всех голоморфных функций на $M$ с обычной топологией равномерной сходимости на компактах в $M$. Двойное пространство ${\mathcal {O}}^{\star }(M)$ аналитических функционалов на $M$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в ${\mathcal {O}}(M)$ является пространством Браунера.

В частном случае, когда $M=G$ обладает структурой топологической группы пространств ${\mathcal {C}}^{\star }(G)$, ${\mathcal {E}}^{\star }(G)$, ${\mathcal {O}}^{\star }(G)$ становятся естественными примерами стереотипных групповых алгебр .

• Позволять $M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ — комплексное аффинное алгебраическое многообразие . Пространство ${\mathcal {P}}(M)={\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]/\{f\in {\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]:\ f{\big |}_{M}=0\}$ многочленов (или регулярных функций) на $M$, наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, становится пространством Браунера. Его стереотип двойного пространства ${\mathcal {P}}^{\star }(M)$ (токов на $M$) является пространством Фреше . В частном случае, когда $M=G$ — аффинная алгебраическая группа , ${\mathcal {P}}^{\star }(G)$ становится примером стереотипной групповой алгебры.
• Позволять $G$ — компактно порожденная группа Штейна . Пространство ${\mathcal {O}}_{\exp }(G)$ всех голоморфных функций экспоненциального типа на $G$ является пространством Браунера относительно естественной топологии.

См. также

• Стереотипное пространство
• Пространство Смита

Ссылки

• Браунер, К. (1973). «Двойственные пространствам Фреше и обобщение теоремы Банаха-Дьедонне». Математический журнал Дьюка . 40 (4): 845–855. дои : 10.1215/S0012-7094-73-04078-7 .
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре» . Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. дои : 10.1023/А:1020929201133 . S2CID   115297067 .
• Акбаров, СС (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной составляющей единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . дои : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID   115153766 .