Крайняя точка

Чтобы узнать о других значениях, см. Крайняя точка (значения) .

Выпуклое множество окрашено в голубой цвет, а его крайние точки - в красный.

В математике крайняя точка . выпуклого множества $S$ в реальном или комплексном векторном пространстве — это точка в $S$ который не лежит ни в одном отрезке открытой линии , соединяющем две точки $S.$ В задачах линейного программирования крайнюю точку также называют вершиной или угловой точкой. $S.$

Определение

Везде предполагается, что $X$ — действительное или комплексное векторное пространство .

Для любого $p,x,y\in X,$ скажи это $p$ лежит между $x$ и $y$ если $x\neq y$ и существует $0<t<1$ такой, что $p=tx+(1-t)y.$

Если $K$ является подмножеством $X$ и $p\in K,$ затем $p$ называется крайняя точка из $K$ если оно не лежит между какими-либо двумя различными точками $K.$ То есть, если не существует $x,y\in K$ и $0<t<1$ такой, что $x\neq y$ и $p=tx+(1-t)y.$ Множество всех крайних точек $K$ обозначается $\operatorname {extreme} (K).$

Обобщения

Если $S$ является подмножеством векторного пространства, то линейное подмногообразие (то есть аффинное подпространство ) $A$ векторного пространства называется поддерживать разнообразие , если $A$ встречается $S$ (то есть, $A\cap S$ не пуст) и каждый открытый сегмент $I\subseteq S$ чей интерьер соответствует $A$ обязательно является подмножеством $A.$ 0-мерное опорное многообразие называется крайней точкой $S.$

Характеристики

The середина из двух элементов $x$ и $y$ в векторном пространстве — это вектор ${\tfrac {1}{2}}(x+y).$

Для любых элементов $x$ и $y$ в векторном пространстве множество $[x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}$ называется замкнутый сегмент линии или закрытый интервал между $x$ и $y.$ сегмент открытой линии или открытый интервал между $x$ и $y$ является $(x,x)=\varnothing$ когда $x=y$ пока это $(x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}$ когда $x\neq y.$ Точки $x$ и $y$ называются конечные точки этого интервала. Говорят, что интервал – это невырожденный интервал или правильный интервал , если его концы различны. середина интервала является серединой его концов.

Закрытый интервал $[x,y]$ равна выпуклой оболочке $(x,y)$ если и только если) $x\neq y.$ Так что если $K$ является выпуклым и $x,y\in K,$ затем $[x,y]\subseteq K.$

Если $K$ является непустым подмножеством $X$ и $F$ является непустым подмножеством $K,$ затем $F$ называется лицо из $K$ если всякий раз, когда точка $p\in F$ лежит между двумя точками $K,$ то эти две точки обязательно принадлежат $F.$

Теорема - Позволять $K$ быть непустым выпуклым подмножеством векторного пространства $X$ и разреши $p\in K.$ Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. $p$ является крайней точкой $K.$
2. $K\setminus \{p\}$ является выпуклым.
3. $p$ не является серединой невырожденного отрезка, содержащегося в $K.$
4. для любого $x,y\in K,$ если $p\in [x,y]$ затем $x=p{\text{ or }}y=p.$
5. если $x\in X$ таково, что оба $p+x$ и $p-x$ принадлежать $K,$ затем $x=0.$
6. $\{p\}$ является лицом $K.$

Примеры

Если $a<b$ тогда это два действительных числа $a$ и $b$ являются крайними точками интервала $[a,b].$ Однако открытый интервал $(a,b)$ не имеет крайних точек. Любой открытый интервал в $\mathbb {R}$ не имеет крайних точек, а любой невырожденный замкнутый интервал, не равный $\mathbb {R}$имеет крайние точки (то есть конечные точки замкнутого интервала). В более общем смысле, любое открытое подмножество конечномерного евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ не имеет крайних точек.

Крайние точки замкнутого единичного диска в $\mathbb {R} ^{2}$ это единичный круг .

Периметр любого выпуклого многоугольника на плоскости является гранью этого многоугольника. Вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ являются крайними точками этого многоугольника.

Инъективное линейное отображение $F:X\to Y$ отправляет крайние точки выпуклого множества $C\subseteq X$ к крайним точкам выпуклого множества $F(X).$ Это также верно для инъективных аффинных отображений.

Свойства

Крайние точки выпуклого компакта образуют пространство Бэра (с топологией подпространства), но это множество может не быть замкнутым в $X.$

Теоремы

Крейна

Теорема Крейна -Мильмана , пожалуй, одна из самых известных теорем о крайних точках.

Теорема Крейна – Милмана — Если $S$ выпукло и компактно в локально выпуклом топологическом векторном пространстве , то $S$ является замкнутой выпуклой оболочкой его крайних точек: В частности, такое множество имеет крайние точки.

Для банаховых пространств

Эти теоремы относятся к банаховым пространствам со свойством Радона–Никодима .

Теорема Йорама Линденштрауса утверждает, что в банаховом пространстве со свойством Радона–Никодима непустое замкнутое и ограниченное множество имеет крайнюю точку. (В бесконечномерных пространствах свойство компактности сильнее, чем общие свойства замкнутости и ограниченности. )

Теорема   ( Джеральд Эдгар ) — Пусть $E$ — банахово пространство со свойством Радона–Никодима, пусть $C$ — сепарабельное, замкнутое, ограниченное, выпуклое подмножество $E,$ и разреши $a$ быть точкой в $C.$ Тогда существует вероятностная мера $p$ на универсально измеримых множествах в $C$ такой, что $a$ является барицентром ​ $p,$ и множество крайних точек $C$ имеет $p$- мера 1.

Из теоремы Эдгара следует теорема Линденштрауса.

Связанные понятия

Замкнутое выпуклое подмножество топологического векторного пространства называется строго выпуклым, если каждая из его (топологических) граничных точек является крайней точкой. Единичный шар любого гильбертова пространства представляет собой строго выпуклое множество.

k -крайние точки

В более общем смысле, точка выпуклого множества. $S$ является $k$-экстремальный , если он лежит внутри $k$-мерное выпуклое множество внутри $S,$ но не $k+1$-мерное выпуклое множество внутри $S.$ Таким образом, крайняя точка также является $0$-крайняя точка. Если $S$ является многогранником, то $k$-крайние точки — это в точности внутренние точки $k$-мерные грани $S.$ В более общем смысле для любого выпуклого множества $S,$ тот $k$-крайние точки разбиваются на $k$-мерные открытые лица.

Конечномерную теорему Крейна–Мильмана, принадлежащую Минковскому, можно быстро доказать, используя концепцию $k$-крайние точки. Если $S$ замкнуто, ограничено и $n$-мерный, и если $p$ это точка в $S,$ затем $p$ является $k$- крайность для некоторых $k\leq n.$ Теорема утверждает, что $p$представляет собой выпуклую комбинацию крайних точек. Если $k=0$тогда это немедленно. В противном случае $p$ лежит на отрезке прямой $S$ который можно максимально расширить (поскольку $S$замкнуто и ограничено). Если концы отрезка $q$ и $r,$ то их крайний ранг должен быть меньше, чем у $p,$ и теорема следует по индукции.

См. также

• Теория Шоке - Область функционального анализа и выпуклого анализа
• Взрывной контроль

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Пол Э. Блэк, изд. (17 декабря 2004 г.). «крайняя точка» . Словарь алгоритмов и структур данных . США Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 24 марта 2011 г.
• Боровский, Эфраим Дж.; Борвейн, Джонатан М. (1989). «крайняя точка». Словарь математики . Словарь Коллинза. ХарперКоллинз . ISBN  0-00-434347-6 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90685-0 . OCLC   8169781 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .